Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Формулы параксиальной оптики позволяют определять значения кардинальных элементов оптических систем, положение и размер изображения предмета в параксиальной области. По формулам параксиальной оптики рассчитывают ход вспомогательных лучей Зей-деля при аберрационном анализе оптических систем в области аберраций первого и третьего порядков (области Зейделя), выполняют коррекцию аберраций оптических систем. По формулам параксиальной оптики вычисляют также радиусы кривизны поверхностей оптических компонентов.
Приведем основные формулы параксиальной оптики.
Уравнения параксиальных лучей'.
- сферическая преломляющая поверхность
- отражающая сферическая поверхность
Ms' - Ms = Hr.
Фокусные расстояния сферической преломляющей поверхности
и'/s' nf.s - {п' - пУг,
-¦ плоская преломляющая поверхность
n'-'.s’ - П':.ч = 0;
п
fU - п.
—п
109
Оптические силы преломляющей (отражающей) поверхности и системы из преломляющих (отражающих) поверхностей
Ф = (п'-п)/г; Ф = -nJf = n2/f'; Ф =-nJf = n'k/f'.
Фокусное расстояние и линейное увеличение системы из преломляющих поверхностей в воздухе
j, _ sx ¦ s2
*2-...sk • j2 •...-лк
Формулы для расчета хода первого параксиального луча ajv+i«v+i - nv«v = К (>Vh - n4)!rw,
/jv+i hv dv 0Су+|.
Формулы для расчета хода второго параксиального луча ^v+lPv+l ^vPv ~~ >'v (nv+l ~ ПуУгv,
У\ 11 — Уч ~ ^vPv+1-
где v = 1, 2, 3, к.
Фокусные расстояния и фокальные отрезки можно определит! после расчета хода лучей по следующим формулам:
при а, = 0, /' = А,/а/, s'F¦ = kjax';
при ax' = 0,f=hjau sF = hi/al.
Линейное увеличение
Р , <*/ „ / _ п\а\
dy у п'Ка'К Инвариант Лагранжа — Гельмгольца
I = п,у а, = и'/а;.
Нулевой инвариант Аббе
f 1 1
р = Viz
/ -
Q = n
\
---1=»
\r s
Формула линзы, расположенной в воздухе (/!, = л3= 1), л2=л: оптическая сила
\
1 1
Ф = -1 = (я-1)
Для линзы, расположенной в воздухе: - фокальные отрезки
п п г,
f rf
v = /
f i N
1 -S^-d
nr.
t Я “1 7
1+-----------d
n r,
110
отрезки, определяющие положение главных плоскостей
,,п-1 ,
>н = -/ ----а .
, п -1
Sfj' — j а ; 5*
«Л
ил,
- расстояние между главными точками
.-А-.)
п
1 1
/j
Для бесконечно тонкой линзы (of = 0) главные плоскости совпадают между собой и с поверхностями линзы. В этом случае:
=
/
1
/ Л/
V - ~SF ~ f >
SH' ~SH ~ 0-
Задачи с решениями
Задача 4.1. Сферическая поверхность радиуса г= 50 мм разделяет две среды с показателями преломления и,= 1,0 и п2= 1,813767 (стекло марки ТФ10).
Определить переднее и заднее фокусные расстояния преломляющей поверхности и размер изображения, если у - 20 мм и s = = -200лш, а также оптическую силу поверхности в обоих пространствах.
Решение. Из уравнения параксиального луча для сферической поверхности
-nx/s = (п2- П\)/г,
полагая s' = найдем переднее фокусное расстояние сферической поверхности
/= -п,г/(п2- и,);
полагая s = -®°, найдем заднее фокусное расстояние
/' = пгг/{пг-щ).
Подставляя значения и,, п2 и г, получим
/= -и,г/(и2- и,) = -64,4426 » -64,44;
/' = п2г/{п2-и,) = 111,4426= 111,44.
Отношение фокусных расстояний f/f' = -n,/n2= -0,5513.
Расстояние от поверхности до изображения
Линейное увеличение
(3 = у'/у = «,а,/;г;а2= -fa .fa = nf'h.s = -0,443 45.
Величина изображения v'= Ру =-8,8680 =-8,87. Оптическая сила в пространстве предметов равна Ф = -nx/f~--\if= 0,01628; в пространстве изображений — Ф = nJf - 0,01628, т. е. оптическая сила поверхностей в обоих пространствах одинакова. Это положение вытекает из приведенных выше формул для фокусных расстояний, а именно
-/г,//' = nJf =
Задача 4.2. Вывести формулу инварианта Лагранжа — Гельмгольца для первого параксиального луча (рис. 4.2).
Решение. Из рис. 4.2 у = -?,5, у' = -?,'s'. Тогда у'/у = e/.v'/e,.?. Так как h = а,.? = аУ, то s'/s = а,/а: и у'/у = е/ос/е,^.
Для параксиальной области и, следовательно, для первого параксиального луча закон преломления имеет вид
/!,?, = ?.'¦
Отсюда ?,'/?, = «/«,, следовательно,
у'/у = и]а,//7:а2; HLva, = пу ос, = /.
Таким образом, мы получили инвариант Лагранжа — Гельмгольца для первого параксиального луча. Используя данные задачи 4.1 и принимая /г, = 10,0, получим
а, = h/s = -0,05; ос2 = h/s' =0,06217; /=-1= const.
Инвариант Лагранжа — Гельмгольца в пространствах предметов и изображений имеет одно и то же значение.
Задача 4.3. Радиусы кривизны преломляющих поверхностей г, = 30; г2 = -50 мм, расстояние между поверхностями d= 20 мм\ я, = и, = 1, п2 = п = 1,518 29 (стекло марки К8).
и:
Рис. 4.3. Ход первых параксиальных лучей через линзу при s, = -°о, л,* -°°
Определить координату л\', величину изображения у', фокусное расстояние системы, фокальные отрезки sF и s'F- и инвариант Лагранжа— Гельмгольца, если у = 20 мм, 5, = -100.».и (рис. 4.3).
Решение. Система, состоящая из двух преломляющих поверхностей, представляет собой линзу. Определим /'. s'r, а также .т/ расчетом хода первого параксиального луча с помощью формул
к
^v + l^v-fl — ~ (^V + l — ^v)’ k‘-r 1 ~ к ~ ^v^v + I ’
где v = 1, 2. Примем /г, = 10,0, тогда при а, = 0
