Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Согласно условию образования точечного изображения оптическая длина пути от точки А до точки А' для любого значения у должна быть постоянной, поэтому можно написать
п-АМ + п'-МА' = п-АО + п-ОА'.
Так как AM = -I, MA' = l', AO--S, то - nl + nl’ = -ns+ п s'. Из треугольников АММ0 и А'ММ0:
/ = ^у2 +(s-z)2; 1' = л1у2 +(?-z)2 ,
тогда
п[у2 +(s’-z)2]V2 -п{у2 + (s-z)2]l/1 = ns'-ns.
89
После исключения корней получим
|пг [у2 + (?- z)2] - пг[у2 + (s~ zf )-(ns'~п s)21 =
= 4п2(п s'- п s)2[y2 + (s-z)2].
Для удобства преобразований введем обозначения а - (j—z); b = (s'~z); с = п s’— пs.
Возведем в квадрат правую часть уравнения, тогда
п'4 (у2 + Ь2)+ п4 (у2 + а1)- 2пп(у2 + Ь2)с2 -2л2 (у2 + а2)с2 --2п2п2 (у2 +а2)(у2 +62)+с4 =0.
Выполнив преобразования, найдем
(я'2 - л2)2 / + 2|bV2 (л'2 -п2)-а2п2 (и'2-л2)-с2 (л'2 + л2)]/ +
+ (л'262 - л V )2 - 2с2 (п'2Ь2 + «V )+ с4 = 0.
Это выражение является уравнением профиля анаберрационной преломляющей поверхности, называемой картезианским овалам, или овалом Декарта.
Задача 3.2. Используя уравнение, полученное в задаче 3.1, определить координаты анаберрационной преломляющей поверхности — овала Декарта, если s ~ -100,0 мм, s'= 100,0 мм, п= 1,0, л' = 1,51829.
Решение. Определим координаты у для следующих значениий г. 1; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0; 15; 20,0 мм.
Напишем уравнение профиля анаберрационной преломляющей поверхности в виде
Ау* + 2Ву2 + С = 0.
При z- 1,0 мм:
a =s — z = —\ 00 — 1 =-101; а2 = 102,01 • 102; Ь =?" -z - 100 —-1 = 99,0; Ь2= 98,01 • 102; с = н'?-л?= 1,518 29-100 + 100 = 251,829; с2 = 634,178 45 • 102;
п'2- 2,305 2045; А = (л'2- п2)2= (2,305 2045 - 1)2= 1,703 5587;
В = 6^2(л'2-л2)-а2л2(|1'2-/12)-с2(л'2+л2) = 102(98,01 х X 2,305 204 5 • 1,305 2045 - 102,01 • 1,305 2045 - 634,178 45 X X 3,305 2045) = —1 934,3445 • 102;
С = (tPb2-п2а2)2- 2c*(B46*+»i2e1) + C4f= (2,305 2045 • 98,01 • 102--102,01 lO2)2^ • 634,178 45 • 102 - (2,305 2045 • 98,01 • 102 + +102,01 ¦ 102) + (634,178 45 • 102)2 = 1 590,350 • 104.
90
блииа 3.1. Координаты у, I, /' и оптический путь анаберрационной
* а преломляющей поверхности — овала Декарта
; У 1 Г -nl+n'l'
1,0 6,4133 -101,2034 99,2075 251,829
2,5 10,1287 -102,9992 98,0247 251,829
5,0 14,2927 -105,9683 96,0691 251,829
7,5 17,4568 -108,9082 94,1328 251,829
10,0 20,0908 -111,8209 92,2152 251,829
15,0 24,4039 -117,5608 88,7339 251,829
20,0 27,8869 -123,1977 84,7212 251,829
Тогда 1,703 5587/- 3 868,689 • 102/+ 1590,350 • 104= О или /-2 270,9455 • 102/ + 933,545 75 ¦ 104= 0, откуда
/ = 1 135,4727 • 102± 1 135,0614 ¦ 102.
Координата у имеет два значения, но первое не имеет физического смысла, поэтому
у2= 0,4113-102= 41,13; у = 6,413 27 мм.
Аналогичным путем вычисляют координаты и для других значений z. Координаты у, I, Г и оптические пути для каждого значения у приведены в табл. 3.1.
Оптический путь осевого луча
-ns + п? = -(-100)+ 1,518 29- 100 = 251,829.
Из вычислений видно, что разность оптических путей осевого и любого луча, образующего конечный угол а с оптической осью, равна нулю. Следовательно, овал Декарта дает стигматическое изображение точки А. Форма дуги овала показана на рис. 3.1.
Задача 3.3. Вывести уравнение профиля для анаберрационной преломляющей поверхности при $, = -<».
^ Решение. Для предмета в бесконечности (5, = -®°, ст = 0) оптический путь от точек Мх и О до точки А' должен быть постоянным Фис. 3.2), т. е.
пМ,М2+п'М2А' = п'ОА' или nz + n'l' = n'f',
ОТКуда 12 2 у
n'l' = rif - nz.
Подставим значение координаты /
п[уг +(/'-z)2]1/2 = n'f'-nz.
После возведения в квадрат обеих частей уравнения получим
0Тк "'У + пп (/' - z)2 = (nff - 2 nn’f’z + (nz)2,
Уда после преобразования
у2 =2f'(l-n/n')z + [(n/n')2 -ljz2.
91
Эго выражение представляет собой общее уравнение кривых второго порядка с началом координат в вершине поверхности
y2 = Az + Bz\
где
А —2 /'( 1 — п/п') = 2г0; В = {pin')' — 1 = е2 — 1.
Поверхность эллипсоидная, если В = (п/пУ~ 1 < 0, а это будет в случае, когда п > п.
Если В = (л/л')2- 1 > 0, т. е. при п < л, поверхность будет гипер-болоидной. Для параболоидной поверхности В = (п/п)2- 1 = О, поэтому необходимо, чтобы л = п, т. е. показатели преломления пространства предметов и пространства изображений должны быть равны и преломление происходить не будет. Отсюда следует, что анаберрационной преломляющей поверхности параболоидной формы не существует.
Задача 3.4. Определить координаты эллипсоидной преломляющей поверхности, если л= 1; л'= 1,518 29; ?'=//=100 мм (рис. 3.2).
Решение. Для эллипсоидной преломляющей поверхности
г0 = /'(1 - и/и') = 34,136 43; В = (л/л')2 -1 = -0,566 199; уравнение профиля эллипсоидной поверхности у2 = 68,272 86z-0,566 199г2.
Координаты у и оптические пути от плоскости М,0 до точки А' для различных значений z приведены в табл. 3.2.
Оптическая длина пути вдоль оси О А' эллипсоидной преломляющей поверхности равна п'ОА' - nf = 151,829.
Постоянство оптических путей для всех лучей выражается формулой
Рис. 3.2. Анабсррационная эллипсоидная преломляющая поверхность при j = 92
