Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф2т+1= -2 2 Ъп+^п+^ьЧп+\'\ (5.5.12)
§ 5.6]
ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ V
165
где
4k = h(^j-)k (Ч1 = Чг = Тз = 0). (5.5.13)
Из этих формул следует, что вековые части функций R' и F' обусловлены
только четными зональными гармониками, члены с четными к происходят от
гармоник четного порядка, а члены с нечетными к - от нечетных гармоник.
Заметим также, что коэффициенты Rh и Fh пропорциональны efts*, а
коэффициенты Ф& пропорциональны е*-1^. Это обстоятельство важно иметь в
виду в тех случаях, когда величины ей s малы.
§ 5.6. Элементы как функции v
Так как F' не зависит от Q и
dR' , dR' _п dv "Г du '
то уравнения (4.13.1) в нашем случае приобретают следующий вид:
de _ р (1 - еdF'
dv е dai* '
ds _ р(1 - "2) dF'
dv s d<?>* '
dQ ______ . pa dF'
(5.6.1)
где со* дается формулой (5.5.1).
Из первого уравнения (5.6.1) следует
а - я0>
(5.6.2)
где а0 - постоянная. Таким образом, элемент а не имеет не только вековых,
но и долгопериодических возмущений цервого порядка.
166 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Подставим в уравнения (5.6.1) вместо R', F' и Ф' их выражения из (5.5.2)-
(5.5.4). Тогда
Будем решать эти уравнения методом последовательных приближений. За
нулевое приближение возьмем упрощенное решение, которое получается, если
в правых частях (5.6.3) отбросить периодические члены. Оно имеет вид
причем р, = р, (а0, е0, s0) и v = v (а0, е0, s0) определяются формулами
промежуточного движения, а Ац hAv даются равенствами
Подставим теперь формулы (5.6.2) и (5.6.4) в первые два уравнения
(5.6.3). Тогда после интегрирования найдем
СО
со
оо
оо
(5.6.3)
dv s ds ' е де
ОО
оо
(5.6.4)
(5.6.5)
(5.6.6)
& - -j- S -- Sq -J-
(5.6.7)
§ 5.6]
ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ v
167
где
причем
бе== - "VsrS Fkcosk8'' k=i
6 s-
Гюовк?,
h=i
g' = v'i; + (0q.
(5.6.8)
(5.6.9)
Перейдем к решению третьего уравнения (5.6.3). Подставим в правую часть
этого уравнения формулы (5.6.2) и (5.6.7). Тогда с принятой точностью
будем иметь
dF ь
2 <5-6-10>
k=l
Из формулы (3.9.3) с точностью до е2 включительно находим
д[х __ 6е^е0"0 3(х _Зе^р
1-е"2 '
"о
Подставляя эти выражения и формулы (5.6.8) в уравнение (5.6.10), а затем
интегрируя, мы можем представить Q в следующем виде:
(5.6.11)
где 6Q =
Юссо
v' (4- 5s§) к FbsmkZ +
+тг"2 т^г51"8*'- (5.6.12)
fc=l
Здесь мы воспользовались для v' упрощенным выражением v' = |e02(4-5S03),
что не противоречит принятой точности.
168
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Аналогичным образом решается и последнее уравнение (5.6.3). В результате
будем иметь
со* - v'v + со* -j- бсо, (5.6.13)
где б со можно представить в виде 00
8ш= - a06Q - -^г 2 -уsin fcg'+
Ь=1
оо
<5-6Л4>
*=1
В заключение заметим, что входящие в выражения
(5.6.6), (5.6.8), (5.6.12) и (5.6.14) коэффициенты Rh, Fh и вычисляются
по формулам (5.5.5)-(5.5.12), в которых а, е, s должны быть заменены
соответственно на а0, е0, s0.
§ 5.7. Соотношение между t и v
Согласно (4.11.14) и (4.11.15) время t связано с переменной v уравнением
где т2 определяется формулой (3.17.16), а | и г| - сфероидальные
координаты спутника.
Полагая
|2_|_с2Л2 __ J
т2 ~ п0 '
где п0 выражается через a, е, s формулой (3.8.7), a J есть функция
элементов орбиты и переменных и* и v, мы приведем уравнение (5.7.1) к
виду
?=?{'+f(f+?p-)}- <5Л-2>
Вычисления показывают, что
j= (Г+,оС-+0(вг)' (5-7-з>
причем О (е2) не содержит свободного члена и долгопериодических членов,
пропорциональных е2.
S 5-7]
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ t И v
169
Чтобы проинтегрировать уравнение (5.7.2), нам необходимо в первое
слагаемое правой части ввести возмущения элементов е и п0. Поэтому будем
иметь
dt /0 ¦ /р Ро / dR' . дф' \ . dJ0 6е Jp 6п0
dv п(0т ¦ njo) е0 ^ де 'du* / ' дер re(00J га(00) га(,0) '
(5.7.4)
где /0 и пJ>0) определяются формулами промежуточного движения, в которых
элементы а, е, s заменены соответственно на а0, е0, s0.
Поскольку в промежуточном движении время t связано с v уравнением
dt J0
dv ~ ntf" '
то, полагая
(5.7.5)
<0== 1 + (5.7.6)
мы вместо (5.7.4) будем иметь
+ <5-7-Ч
Найдем теперь возмущение бп0. Так как R' не зависит
от Q, то уравнение (4.11.16) в нашем случае запишется
в виде
dn0 о 3/^7------ f dR' .. . dR' \
^=-3/ fmn0 ( -+(l+v)-j.
Интегрируя это уравнение и замечая, что без потери точности можно принять
fm = nffll
мы получим
- -Зао-R + 3a0ci, (5.7.8)
rl о
где сг - постоянная интегрирования.
При помощи легко проверяемого равенства
3a0J0R' + J0 R' = (1 _ eJ):3/2 d-f
е0 de0 ' е0 de0 е0 0/ де0
и формулы (5.7.8) уравнение (5.7.7) приводится к виду
э w.+g*-
Ро &Л> тзг , Ро /Л "2\3/2 dF' , т Ро дФ' ,г п п.
170
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
[ГЛ. V
Преобразуем полученное уравнение. Для этого введем функцию
L=\pdv=
J де0 (1-|-<?ocosp)2 v 1
И положим
X=-L~-^dJ^R' +1<LJ0^L. (5.7.11)
dv e0 de0 ' e0 u du* v '
Тогда (5.7.9) примет вид
T = -3<vA+-? (f(Lte) + x.
(5.7.12)
Покажем, наконец, что в уравнении (5.7.12) величиной X можно пренебречь.
Подставляя в (5.7.11) второе
