Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
150 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Если положить далее
u* = (l + v)i; + co*,
то
* I л
и = и* + ~.
Поэтому
sin ф = sin i cos и*. (5.1.4)
Подставляя (5.1.2) и (5.1.4) в формулу (5.1.1), найдем
оо
R = ^ in ( - )"(1 + ^cos i;)n+1 Pn (scosu*), (5.1.5)
n- 4
где s = sin i.
Поскольку для определения возмущений мы будем пользоваться уравнениями
(4.13.1), нам нужно найти также разложения для функций Rr, F' и Ф',
определяемых формулами (4.13.2). Они имеют следующий вид:
оо
= у 2 jп (у)п (1 + е cos v)n+lPn (scosu*), (5.1.6)
n=4 оо
F' = -J 2 j" ("7)n(l + ecos v)n~lPn (scosu*), (5.1.7)
n- 4
oo
Ф' = - V, jn j" (1 -j-e cos i;)"-1 (2 -f- e cos y) x
n-4
X sin(scosu*). (5.1.8)
Рассмотрим подробнее полученные выражения. Очевидно, функция R' может
быть представлена в виде следующего ряда:
Я' = у 2 A.jWS(ku*+iv), (5.1.9)
ft, i
коэффициенты которого зависят от р, ей s. Аналогичный вид будут иметь и
функции F' и Ф', только Ф' будет содержать вместо косинусов синусы.
Напомним, что те члены в (5.1.9), для которых к = j - = 0, называются
вековыми членами. Они вызывают вековые
5 5.1]
ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
151
возмущения. Члены, для которых к = - / ф 0 и кф - /, называются
соответственно долгопериодическими и короткопериодическими. При
интегрировании долгопериодических членов в возмущениях появятся малые
знаменатели вида kv, где к - целое число, a v - величина порядка &2.
Интегрирование короткопериодических членов не приведет к малым
знаменателям, и амплитуды таких возмущений будут пропорциональны jn.
В дальнейшем мы будем пренебрегать короткопериодическими возмущениями.
Таким образом, все упрощения, которые были здесь сделаны, позволяют нам
получить вековые возмущения с точностью до &4, а периодические - до &2
включительно.
Введем теперь в рассмотрение коэффициенты М^ (е) и LW (s) согласно
формулам
2Я
Мп1 (е) = j (1 + ecosf)"coskvdv, (5.1.10) о
2л
1 (s) == "2~ j Рп (scosu*) cosku* du*. (5.1.11) о
Тогда, если в (5.1.6) отбросить короткопериодические члены, то, как легко
видеть, для функции R' будем иметь следующее разложение:
ОО
R' = - 2 RhC°sk(u* - v), (5.1.12)
fc=0
где
До=2/"(уГ^п|Л0), (5.1.13)
п-4
п-4
(5.1.14)
152 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Аналогичным образом находим
оо
F=±- 2 Fhcosk(u*-v), (5.1.15)
Р k=О
оо
Ф'=- 2 (5.1.16)
&=1
где
= (5-1.17)
n=4
оо
^ = 2 2 in(YYMn±tLn\ (5.1.18)
n=4
фй = -2 2 in (?)nWil?\ (5.1.19)
n=4
причем
2л
Mi&) (e) = j (1 + e cos у)" (2 -j- e cos v) sin v sin kv dv. о
(5.1.20)
Методика вычисления коэффициентов (е), NW (е)
и LW (s) будет рассмотрена в следующих параграфах.
§ 5.2. Коэффициенты м[?\е)
Рассмотрим функцию М?) (е), определяемую формулой
2л
Afnfe) = -^-j (1 + е cos v)n cos fey dp. (5.2.1) о
Очевидно, при положительном п функция MW (е) является многочленом
относительно е. При четном к степень этого многочлена равна п, если п
четно, и п - 1, если п нечетно. При нечетном к степень МW (е) будет равна
п или п - 1, смотря по тому, четно или нечетно п - 1. Легко видеть также,
что многочлен (е) имеет порядок eh. Из форму-
5 5.2]
КОЭФФИЦИЕНТЫ MW (е)
153
лы (5.2.1) следует, что
Мп'1 (е) = 0, fc>n, (5.2.2)
= (5.2.3)
Выведем рекуррентные соотношения, связывающие М соседних индексов. Для
этого применим сначала к интегралу (5.2.1) операцию интегрирования по
частям. Тогда получим
2л
j (1 + е cos у)"-1 sin у sin Ay dy, (5.2.4) о
или
2л
- j (1 + е cos у)71'1 [cos (А- 1) v - cos (А+ 1) у] dv.
о
(5.2.5)
Следовательно,
М(п] = -g )-м^]. (5.2.6)
С другой стороны, из (5.2.1) имеем
2л
М^ = 2^- j (1 + е cos v)n l cos kv dv +
о
2я
+ -^Г j (1 + e cos y)n_1 cosy cos Ay йу, (5.2.7)
о
или
M(n} = +{ (5.2.8)
Приравнивая правые части формул (5.2.6) и (5.2.8) и заменяя затем п - 1
на л, найдем
мп) = -^[(п + 1-к)М^-1)-{п+1 + к)М(^+1)]. (5.2.9)
Полученная формула позволяет вычислять М^1), если известны М^> и
154
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Выведем теперь формулу, связывающую с одинаковыми верхними индексами. С
этой целью применим к последнему интегралу (5.2.7) операцию
интегрирования по частям. Тогда
2 Л
Мп ) = Мп-1 + j (1 е cos v)n~2 е2 sin2 v cos kv dv +
о
2л
pk Л
-|-2jt~ \ (1 + e c°ssin sin /cf (5.2.10)
о
Разбивая первый интеграл в (5.2.10) на три слагаемых (для чего
используются известные формулы замены произведений тригонометрических
функций соответствующими суммами) и учитывая (5.2.4), найдем
^=^-M^) = (2n-l)Mih21-(n-l)(l-e2)Mihl2. (5.2.11)
Эта формула дает возможность вычислить если известны MjfJj и М?}2.
Перейдем к выводу формул для производной по е.
Дифференцируя (5.2.1) по е, получим
dM
-de~ = 2п J (l + ecosv)n~l cosvcoskv dv. (5.2.12) о
Если разбить интеграл (5.2.12) на сумму двух интегралов, то найдем
= + (5.2.13)
Можно получить и другую формулу для производной MW по е. Согласно (5.2.8)
M^_"i1) + M^_+11) = 4 [M^-M^h]. (5.2.14)
Поэтому
= (5.2.15)
Из равенств (5.2.15) и (5.2.11) легко вывести дифференциальное уравнение,
