Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
индексом.
Выведем вторую рекуррентную формулу. Для этого разрешим уравнения (5.4.8)
и (5.4.10) относительно и Z/W,. Тогда
kL^h = 1 s (и + к) + 1 s (A- га) ?<?+1), (5.4.17)
kLn-i = у s (^ - п - l)-^n _1) + -^- s (А + га-|-1) + 1)- (5.4.18)
Заменяя в (5.4.17) га на га - 1, а в (5.4.18) А; на А; - 1, а затем на к
+1, будем иметь
? (А + га -1) 1 (к-га +1) = кЬ*\ (5.4.19)
(к-1) LnlP - | (А- га _ 2) Ln~2) +1 (A + га) L(r), (5.4.20) (к + 1) =
±(k-n)L(*) + j{k + n + 2) Ln+2\ (5.4.21)
Исключая отсюда Ln~P и получим
(A -1) (A - га + 1) (A + га + 2) Ь<?+2) +
~Ь (A + 1) (A-f- ra-|- 1) (A- n - 2) Ln 2^-f--j-Щ- [s2 (A2 + ra2 + ra -1)
- 2 (A2-1)] L= 0. (5.4.22)
Формула (5.4.22), таким образом, связывает три соседние функции с одним и
тем же нижним индексом.
Выведем теперь формулу для производной Lпо s. Из равенства (5.4.1) имеем
dL^
- j- = ~2^ \ Pn(s cos и) cos и cos kudu. (5.4.23)
о
§ 5.4]
КОЭФФИЦИЕНТЫ lW(s)
161
Заменяя здесь п на п + 2 и вычитая из полученной формулы равенство
(5.4.23), найдем
dL&h dL(tm) i 2f"
- J- \ (P'n+2 - Pn) cos u cos ku du.
ds ds 2n
Ъ
Но согласно (5.4.7)
Pn+2 - P n = (2re + 3) Pn+i-
Поэтому
<^2 dLn] 2n + 3 f
ds ds 2 n J rn+i
ИЛИ
2 n j
с
dL<n% dLW 2n + 3 r T(h-1), r(ft+i)
Pn+\ cos и cos ku du
о
ds ds
[ВДЧЩЧ. (5.4.24)
Используя равенства, полученные из (5.4.17) и (5.4.18) заменой иная +1,
мы вместо (5.4.24) будем иметь
7 К" + 2) L"+2 +(" + !) 4>й)]. (5.4.25)
Заменяя здесь п на п - 2, получим
dL(ft) dL(ft)0 1
~i--------^-=yrf + (n-l)^2l. (5.4.26)
Продифференцируем (5.4.16) no s. Тогда
dL(^)
(2n -1) [(re + 2)2-*2] n+2 1
ds 1
+ (2re-|-l) [2 (n2k2n - 1)-dL(fe)
_s2(2re-l)(2/* + 3)]-^- +
dL^
+ (2re-j-3) [(n - l)2 - к2)- n~z
ds
= 2s (2n - 1) (2n +1) (2n + 3) L%\ (5.4.27) Исключая из уравнений
(5.4.25)- (5.4.27) величины
dLn+2 dL(n-i T(h) ds ' ds >
11 E. П. Аксенов
162 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
будем иметь sT^ + ('' + 1>i") =
("+ I)2- г (й) _ (га+2)2 - к2 j (ft) ,г / 2q\
- (1 -*2)(2в + 3) n (1-s2)(2re + 3) п+2' >
Если отсюда при помощи (5.4.16) исключить Ь(п\г, то получим
di(ft) гь.
(2п -1)"(1 _ **) г= [(гг - I)2 - Л:2] 2 +
-f- [&2- s2n2 + n (и- 1) (1 -S2)] Ь(п\ (5.4.29)
Исходя из равенств (5.4.28) и (5.4.16), легко получить дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет функция LW. Оно имеет следующий вид:
d2L^] dL(tm)
s2(1-s2)-^- + S(1-2s2)T-
- [ft2 -А" (!+")]?" > = 0. (5.4.30)
Итак, рекуррентные формулы (5.4.16), (5.4.22) и (5.4.28), (5.4.29)
позволяют вычислить любое количество функций ЦР и их первых производных,
если известны, например,
г(0) г (0) г (2) г (2)
Ь 2 , Lit , J->2 ) .
Однако, по-видимому, более удобно пользоваться одной рекуррентной
формулой, скажем, формулой (5.4.16), задавая две соседние функции Ь^2 2 и
4ft). С этой целью найдем, во-первых, явное выражение для Lftft) и
покажем, во-вторых, что при любом к формула (5.4.16) остается
справедливой, если считать 1^22 = 0.
При помощи формулы (1.2.3)
р. <¦"> = """+• • • ]
§ 5.4]
КОЭФФИЦИЕНТЫ LM (s)
163
и формулы (5.4.4) находим
Pih)( а) = 1-3-5 ... (2/с- 1) (1 -а2)*72,
PU 2 (а) = 1,3,5 (2fe+1)-[(2/с + 3) а2- 1] (1 - а 2)ш.
Положим в этих равенствах а2 = 1 - s2 и воспользуемся уравнением (5.4.3).
Тогда
iris)=sk[i'3-5^-^, (5.4.31)
Lh+2 (s) = - sfe[1'325(2fc+(22)l + 1)]2 K2^ + 2) - (2/c -j- 3) s2].
(5.4.32)
Если в формуле (5.4.16) положить м = /с и - 0, то при помощи (5.4.31) и
(5.4.32) мы легко убедимся в том, что (5.4.16) превращается в тождество.
Таким образом, для вычисления функций можно пользоваться только формулой
(5.4.16), принимая за исходные данные
ЧЦг = О, Цц= "*• (5.4.33)
Другими словами, мы задаем второй формулой (5.4.33) элементы главной
диагонали и приписываем в каждой строке слева от этих элементов нули, а
затем по формуле (5.4.16) вычисляем последовательно Ьь+2, ^4+4 и т. д.
Отметим в заключение некоторые свойства коэффициентов LW (s). Очевидно,
LW является многочленом п-й степени относительно s, цричем наинизшая
степень s в этом многочлене равна /с. Если п -]- /с нечетно, то все LW
(s) тождественно равны нулю. Далее мы имеем
Z4ft)(s) = 0, к>п, (5.4.34)
L^(-s) = (-i)nL^(s). (5.4.35)
Явные выражения для некоторых LW (s) приведены
в Приложении. Общие выражения для будут получе-
ны в § 6.5.
11*
164 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [гл. V
§ 5.5. Выражения для К', F', Ф'
Пусть
Ш* = и* - V. (5.5.1)
Тогда из формул (5.1.12), (5.1.15) и (5.1.16) имеем
ОО
pR'~R0 + 2 Rk cos ка>*, (5.5.2)
h= 1 оо
pF' = F0 -j- 2 Fk cos Ы*, (5.5.3)
h=l
рф' = 2 OftSinAco*. (5.5.4)
k-i
Принимая во внимание (5.4.34) и тот факт, что L№ (s) - = 0 при нечетном п
-f-A, мы при помощи (5.1.13), (5.1.14) и (5.1.17)-(5.1.19) находим
следующие формулы для коэффициентов R0, F0, Rhl Fh, Фк:
Ro= 2 Т.ЖД1. (5.5.5)
n=2
^o= 2 bMn'-iUl1, (5.5.6)
n=2
= 2 2 (5.5.7)
n=m
^*m = 2 2 V "AW, (5.5.8)
n=m+i
Ф2т= -2 2 bMnlW, (5.5.9)
n=m
Д.т+| = 2 2 V."ii^+21)M2B+V), (5.5.10)
n=m
^ 2m+l = 2 2 (5.5.11)
n=m+l
