Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
гравитационного поля Земли. Поэтому представляется целесообразным
остановиться на них подробнее.
Пусть
п' = п0 + Дя', п" = щ + Arc"
суть среднесуточные изменения элементов со и Q и пусть п0 и п0 -
среднесуточные изменения этих элементов
в промежуточном движении, a Are' и Are" - поправки к ним, обусловленные
возмущающей функцией (5.1.1). Тогда на основании § 5.10 будем иметь
ОО оо
Are' - 2 co2fe, Are = 2 (5.13.1)
п=2 п=2
где величины Q2fe и a2k представляют собой коэффициенты вековых
возмущений от гармоники порядка 2к. Они даются следующими формулами:
^--^72 ьМмЬ'ы, (5.13.2)
so
(r)2ft = -&0&2k + "{2k^'2h+lIJ2k. (5.13.3)
е0
Здесь ге0 - среднесуточное аномалистическое движение,
4*k=hk (-%)**, (5-13.4)
причем
Ро= ао (1 - ео), ао - cos *о> s0 = sin г0,
МП = М'0)Ы, Ln = LT(s0).
Для вычисления Мп можно воспользоваться рекуррентной формулой
пМп = (2ге - 1) М- (re - 1) (1 - е*) Мп_2,
принимая за исходные данные
Mi = 1, М8=4-(2 + 0-
§ 5.13]
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
181
Производная М'п может быть вычислена по формуле
М-п = ^-(Мп-Мп^). ео
Функции Ln (s0) можно вычислять двумя способами. Во-первых, их можно
выразить через полиномы Лежандра:
ь2п (so) ~ Ргп (0)^*2п ("о)- (5.13.5)
Во-вторых, можно воспользоваться следующим рекуррентным соотношением:
(2га _ 1) (га + 2)2 Ln+2 = *; (2га - 1) (2га + 3) Ln -
- 2 (2га + 1) (га2 + га -1) Ln - (2га + 3) (га - I)2 Ln_2, а за
начальные данные принять
L0 = 1, L2=-l(2-3s02).
Тогда производная L'n найдется по формуле
(2га-1)*ь(1-"*)?; =
= (га-l)2Ln_2+[ra(ra-1)(1 -s2)- ra2s2] Ln.
Приведенные формулы позволяют весьма быстро вычислять возмущения от
любого числа гармоник.
Рассмотрим теперь численные значения вековых возмущений на примере пяти
спутников, элементы которых даны в табл. 6 § 3.16. Результаты вычислений
для этих спутников приведены в табл.
9. Они дают суточные изменения элементов и и Q от всех гармоник с
четвертой до двадцатой включительно.
Эта таблица показывает, что вклад зональных гармоник в суточные изменения
элементов ш и Q составляет несколько десятитысячных долей градуса. Нужно
заметить, что результаты вычислений очень чувствительны к тому, какое
число гармоник мы принимаем во внимание.
Влияние различных гармоник на изменение элементов (c) и Q показано в табл.
10.
Таблица 9
Среднесуточные изменения элементов шив
7V7 Ап' Ап"
1 -0?00084 -0°00093
2 0,00021 -0,00098
3 0,00015 -0,00046
4 0,00013 0,00030
5 -0,00003 0,00014
182 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Таблица 10
Значения е"2п и й2п
2п "2 п 2п "2 п ^2 п
4 0°00221 -0?00217 14 -0°00032 0?00003
6 -0,00130 -0,00100 16 -0,00040 0,00019
8 -0,00074 0,00013 18 0,00030 0,00015
10 0,00111 -0,00077 20 -0,00014 0,00000
12 0,00009 0,00005
В ней приведены вековые неравенства для спутника с элементами
а = 7509,9 км, е = 0,086211, i = 28°,8039, вызываемые различными
гармониками от четвертого до двадцатого порядка.
§ 5.14. Случай малых е
Полученные в этой главе формулы для долгопериодических возмущений имеют
особенность при е0 = 0. Поскольку случай малых е представляет большой
интерес для практики, мы преобразуем эти формулы к такому виду, чтобы они
не содержали е0 в знаменателях. В общем случае это можно сделать, если
ввести вместо (е) коэффициенты AfW (е):
= -М(tm) (* = 1,2,3,...)
и рассмотреть некоторые модификации элементов. Однако, имея в виду очень
малые е, мы ограничимся рассмотрением тех случаев, когда в возмущениях
можно отбросить члены се2.
Прежде всего найдем явные выражения для коэффициентов AfW (е). Так как
М&> (е) имеют порядок eh, то с точностью до е2 включительно все нужные
нам коэффициенты определятся формулами
м;0) = 1 + "(.ra4~.Lei, (15.14.1)
= = п (п~1} е2, (15.14.2)
§ 5.14
СЛУЧАЙ МАЛЫХ е
183
которые легко находятся путем непосредственного вычисления интегралов
(5.2.1).
Подставим (5.14.1) и (5.14.2) в формулы (5.9.6) -
(5.9.18). Тогда получим
Ье = А1 cos g' + А2 cos 2g',
bi - J54cos g',
Ш = С4 sing',
e0Soo= - Ai sing' - A2 sin 2g',
e06M = At sin g' 4- A2 sin 2g',
6co 4- bM - Dt sin g',
(5.14.3)
где
^i = - - 2 пъп+^
г(1)
2 n+ 1 ?
п-2
A 2 - Bi =
________!_ v
2v
n-2
--j-Au
• (5.14.4)
d)
n=2
A= -aC44-^- 2п(8и-5)72п+1^+1,
n=2
где, как и раньше, значок "0" опущен.
Рассмотрим теперь следующую систему элементов:
a, qx = е sin со, q2 = е cos со, i, Q, М 4- <о.
Возмущения элементов a, i, Q и М + со, как показывают
формулы (5.14.3) и (5.14.4), не имеют особенности при е0 = 0. Покажем,
что не имеют особенности и возмущения элементов qx я q2. Действительно,
бqx = be cos g' - e0 6(0 sin g',
Sq2 = - be sin g' 4- e0 8(0 cos g',
где g' дается формулой (5.9.23), а входящие сюда величин ны 8е и е0бо) не
содержат е0 в знаменателя^.
184 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
§ 5.15. Важнейшие долгопериодические
неравенства
Для близких искусственных спутников Земли вследствие малости
эксцентриситета члены рядов, представляющих долгопериодические
возмущения, быстро убывают с возрастанием кратности аргумента g'. Поэтому
