Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
прежде всего о вековых возмущениях третьего порядка и периодических
возмущениях второго порядка относительно /2.
В последнее время JI. П. Насонова выполнила очень важную работу по
определению вековых возмущений третьего порядка [16]. Она нашла
аналитические выражения для вековых возмущений от любой совокупности
зональных гармоник с точностью до е2 включительно. Оказалось, что эти
неравенства составляют несколько стотысячных долей градуса в сутки. Такие
члены необходимо учитывать при обработке современных наблюдений. Недавно
Н. А. Сорокин [17] для случая малых эксцентриситетов вывел формулы для
определения долгопериодических возмущений второго порядка. Им также
найдены аналитические выражения для короткопериодических возмущений [18].
ГЛАВА VI
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ И СЕКТОРИАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
§ 6.1. Постановка задачи
Согласно (1.12.2) долготная часть потенциала земного притяжения дается
следующей формулой:
оо п
R = JtIi ^^{T-yPn^sin^coskil-Kk), (6.1.1)
n=2 h=1
где г - радиус-вектор, ф - геоцентрическая широта, К - долгота,
отсчитываемая от гринвичского меридиана, рт _ присоединенная функция
Лежандра, Jnk и Knh - постоянные, численные значения которых можно найти
из табл. 1 § 1.8.
Как и в случае зональных гармоник, в выражении R через элементы р, е, i,
Q, и, v мы будем пренебрегать периодическими членами, пропорциональными
е2. Поэтому будем считать, что в формуле (6.1.1) величины г, sin ф и К
равны
(6.1.2)
1 -f- е cos v '
sin ф ~ = sin i sin и, (6.1.3)
k = w - n(r)(t - i0), (6.1.4)
u; = fi-{-Arctg(cositgu), (6.1.5)
где через обозначена угловая скорость вращения Земли, а через t0 - момент
времени, когда гринвичский меридиан проходит через точку весеннего
равноденствия.
Посмотрим теперь, как можно выразить функцию R через элементы
промежуточного движения. Для этого рассмотрим сначала вторую
секториальную гармонику
P(l} (sin ф) cos 2 (К - Я23),
S 6.1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
189
для которой при помощи (1.3.2) имеем
•Pj2' (sin ф) cos 2 (К - Х22) = 3 cos2cp cos 2 (А, - Х22). (6.1.6)
Пусть
w = Arctg (cos i tg и),
Q22 = Q - n(r)(i - i0) - Xaa. (6.1.7)
Тогда согласно (6.1.4) и (6.1.5)
cos (К - X22) == cos (w + Q22).
Но поскольку
COS ф cos w = COS и, cos ф sin u; = cos i sin u,
TO
cos ф cos (%-X22) =cosucosQ22-cos isin usin Q22. (6.1.8)
Аналогично находим
cos ф sin (X-X22) = cosusin Q22+cos isin ucosQ22. (6.1.9)
Подставляя (6.1.8) и (6.1.9) в (6.1.6) и вводя вместо и переменную и* = и
- 90°, получим
Р(tm) (sin ф) cos 2 (К - Я22) = а^' cos 2Q22 -j-
+ а'*' cos 2 (Q22 - и*) + а(232' cos 2 (Qsa + и*), (6.1.10)
где
а<У = |-Л <2]=-|-(1-а)2; а"*=-§-(1+а )2,
(6.1.11)
причем а
a = cos i, s - sini,
a Q22 определяется формулой (6.1.7).
Для того чтобы можно было воспользоваться уравнениями (4.11.13), нужно из
Q22 исключить время t. В промежуточном движении мы, очевидно, имеем
М = v - ЧГ, (6.1.12)
где
М = п (t - t0) -\- М0, (6.1.13)
190
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
а 4я, если отбросить периодические члены с е2 и сг, есть уравнение
центра, т. е.
ОО
?=2 Me) sin ш. k=i
Подставляя в (6.1.7) вместо t его выражение из (6.1.12) и (6.1.13),
получим
Й22 = Q - yv + уМ0 + Пф (t0 - t0) - к22 -Ь 74я, (6.1.14)
где
есть отношение угловой скорости вращения Земли к среднему
аномалистическому движению спутника.
Сначала мы рассмотрим лишь случай близких спутников, когда величина у
мала. При этом в разложении функции R будем пренебрегать членами,
пропорциональными у, т. е. членами порядка yJnb.. Вследствие этого можно
считать, что
fi22 = ?2 - уи -(- уМо -f- Иф (t0 -10) - Х22, (6.1.16)
поскольку 4я есть периодическая функция и.
Вторая секториальная гармоника, как показывает формула (6.1.1), имеет
множителем величину ^ ) . Но при любом целом п на основании § 5.2 мы
имеем
('Т-)П = (-у)П{М") + 22 Mfcosfe}, (6.1.17)
где М^ суть функции е, изученные в § 5.2.
Формулы (6.1.10) (6.1.16) и (6.1.17) показывают, что в случае второй
секториальной гармоники функция R будет содержать члены вида
(-у)2 A] ,h cos (2?322 + ju* + Jw), (6.1.18)
где / и к - целые числа.
Подобные члены будут содержать и функции R', F' и Ф', которые входят в
правые части уравнений (4.11.13).
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОЙ ГАРМОНИКЙ
191
Поскольку в промежуточном движении и* = (1 + v)v + со*,
^ - [XZ7 -|- ^0'
где со* и Й0 - постоянные, то, интегрируя члены вида
(6.1.18), мы получим
^22 / го \2 /[ sin (2?i2i-\- ju* -\- kv) ,g . |g.
p \ p j J-h /-i_/c-[-/v - 2(v-ц.) ' ' ' ' '
Рассмотрим знаменатель выражения (6.1.19), в котором v и ц. суть
величины порядка е2. Он может быть мал
в двух случаях:
1)7 - мало и /' + к = 0,
2) 2V " / + к.
Очевидно, первый случай соответствует близким спутникам, а второй -
спутникам, периоды обращения которых равны 12h, 24h и т. д.
Здесь мы ограничимся рассмотрением первого случая. Таким образом, мы
будем учитывать только долгопериодические возмущения, для которых / + к =
0. Тогда функции R', F' и Ф' принимают весьма простой вид. Так, например,
