Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
которому удовлетворяет функция М^.
§ 5.3]
КОЭФФИЦИЕНТЫ NW (с)
155
Оно имеет вид
,?r~vdMF-n(i-T(i)e2^k2 м(tm)=°- (5-2-16)
de* е (1 - ег) ае ел(1 - е2) v '
Рассмотрим один частный случай. Пусть п = к. Тогда из (5.2.1) находим
2я
Л/['° = j eh cosft у cos kv dv.
Ho
Следовательно,
о
2я
\ cosh v cos to dy = - J 2h
о
Мй)(е) = (у)Й. (5.2.17)
Кроме того, из (5.2.2) имеем
Mihh = 0. (5.2.18)
Таким образом, для вычисления таблицы коэффициентов MW можно
воспользоваться следующей схемой. Формулой (5.2.17) задаем элементы
главной диагонали М[й) (в), затем согласно (5.2.18) приписываем в каждой
строке слева от этого элемента нуль, а потом по формуле
(5.2.11) последовательно вычисляем элементы строки
Mh+l, М+2 И т. д.
Явные выражения для некоторых МW приведены в Приложении. Общие формулы
для MW будут получены в §6.6.
§ 5.3. Коэффициенты 2V"fc)(e)
На основании формулы (5.1.20) имеем
2л
Nn-1 = ]j~r j (1 + е cos v)n sin v sin kv dv -f
o
2л
(1+e cos у)"-1 sin у sin tody.
156 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Разбивая каждый из этих интегралов на два, как это сделано в § 5.2,
получим
N^li j (1+ ecosi;)ncos(к-1 )vdv - о
2я
- Тл j (1 + ecosy)ncos (ft-f 1) ydy+
'О
2л
j (1 + e cosy)71"1 cos (к- 1) vdv -
о
2n
-j (1+ecosy)n 1 cos(A:+1)у о
или, согласно (5.2.1),
[MT u -Mt+l) + M(*lP -• (5.3.1)
При помощи (5.2.6) отсюда находим
[iV^! = | [1 Ain'1 + ~y М%]. (5.3.2)
Эта формула позволяет вычислять N^\, если известны и М&\.
Выведем еще одно соотношение, которое нам потребуется в будущем. Из
(5.2.15) имеем
(5.3.3)
Вычитая из (5.3.3) равенство (5.3.2), умноженное на к, получим
dMnll ,.Ar(h)
de
kN(tm) i =
= 1 M^U - n(n+^-h-
I 5.4]
КОЭФФИЦИЕНТЫ (s)
157
Если отсюда исключить Мп+\, а затем и (е) при помощи формулы (5.2.11), то
найдем
de
= ± [(в- 1) (1 - e*) (M?>! - M(tm)2) + б2 (2 " -1) M(tm) d.
Но согласно (5.2.15)
de
Поэтому
i^"±! _ j = (1 (j2} + e2 (2" _ !) 4. (5.3.4)
Это и есть то соотношение, которое нам нужно было установить.
§ 5.4. Коэффициенты lin\s)
Рассмотрим функцию Ь<?~> ("), определяемую равенством
2 П
Li?)(s) = -^ j Рп (scos и) cos ки du, (5.4.1) о
где O^s^l, а п и к - целые числа.
Положим в формуле
Рп (cos 0 cos 0' + sin0sin 0' cos гр) - Pn (cos 0) Pn (cos 0') +
П
+2 2 |rw } (cos 0) p"} (cos 0,) cos ft=l
которая выражает собой теорему сложения для полиномов Лежандра (см. §
1.3),
0 = i, 0' = у> '\> = и.
Тогда получим Рп (s cos и) =
П
= Рп (0) Рп (а) + 2 2 (0) P(nh) (<*) cos ки, (5.4.2)
ь=1
158
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
где
s = sini, a = cos i.
Умножая обе части (5.4.2) на cos kudu и интегрируя в пределах от 0 до 2я,
найдем
2я
j Рп (s cos и) cos ки du = О, о
если к^>п, и
2л
^ j Рп (s cos и) cos ки du = Р{п (0) P(nh) (a),
о
если к^.п. Следовательно,
31=ISlfр* <°><а>• <5-4-3)
Формула (5.4.3) выражает L\^ (sin i) через присоединенную функцию
Лежандра от cos ?.
Принимая во внимание известное свойство полиномов Лежандра
Рп(-а) = (-1 )пРп (а) и формулу (1.3.1)
Р(п1) (а) = (1 - а2)к/2 t (5.4.4)
dah
можно показать, что
Нп + 1)(0)^0, P^lii 0)s0. (5.4.5)
Следовательно,
L(tm)(s) = 0,
когда п -f- к нечетно.
Перейдем к выводу рекуррентных соотношений, связывающих функции Z4ft>
различных индексов. Согласно (1.2.4) и (1.2.6) имеем
(п +1)Рп+1(6) -(2п +1)6Р"(6) +пРп-г(в) =0, (5.4.6) (2И+1)Рп(0)=Р;+1(0)-
П_1(0). (5.4.7)
Полагая в (5.4.6) 0=s cos и, а затем умножая на cos kudu и интегрируя в
пределах от 0 до 2л, мы на основании
§ 5.4l
КОЭФФИЦИЕНТЫ (s)
159
(5.4.1) получим
(n 4-1) Z4+t (s) + nL%l i (s) =
2Я
= -2^~ s j Pn (s COS w) cos ku cos и du, о
или
(n -f-1) /Д-и (s) -f- nbhli (s) =
= J (2n + 1) s [4ft-1} (s) + 4?+1) (")]• (5.4.8)
Далее из формулы (5.4.7) при d - scosu, находим
- s (2п + 1) Рп (s cos и) sin и =
= - sPn+l (s COS и) sin и + sP'n_ 1 (s cos и) sin и.
Но
n, , . . dPn (s cos и)
- sPn (s cos u) sin и = ----------.
Поэтому
- s (2n + 1) sin uPn (s cos u) -
dPn+i (s cos u) dPn-1 (s cos Ц) ^ gv
du du
Умножим обе части (5.4.9) на sin kudu и проинтегрируем в пределах от 0 до
2я. Тогда, если интеграл от правой части взять по частям, получим
у(2га +1)[1?_1Ч")-4,'+1)(*)] =
= Л [L^jas)-^!(*)]. (5.4.10)
Разрешая уравнения (5.4.8) и (5.4.10) относительно Z4ft-1> и L^+l\ найдем
e(2n-l-l)L?-1) = (n + A: + l)L^i + ("-*)^i> (5.4.11)
s (2п + 1) L^+1) = (п-к +1) Ь(tm)+1 + (п + к) L(tm) ь (5.4.12)
Заменим в формуле (5.4.12) к на к-1, а в формуле
(5.4.11) п на п-1, а затем на п-\-1. Тогда будем иметь
(п-к+ 2) Ln+P + (га + Л-1) (2п +1) l?\ (5.4.13)
s (2га -1) L{n~i) = {п + к) L(tm) + (га - к -1) L<?> 2, (5.4.14)
s (2га + 3) Ln+P = (п + к + 2) L^2 + (п - к + 1) L(tm). (5.4.15)
160
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Если теперь из уравнений (5.4.13)-(5.4.15) исключить ^¦4+Г1* и то
мы найдем следующую рекуррентную
формулу:
(2га - 1) [(га + 2)2 - А2] 1*12 + (2п + 1) [2 ("2 +
+ А2 +га -1) -s2(2ra -1)(2га +3)] Z4fc) +
+ (2га + 3) [(и - I)2 -A2] l?>2 = 0, (5.4.16)
которая связывает три последовательные функции с одним и тем же верхним
