Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
17 А. И. Ахиезер 257 на два магнона возможен только в том случае, если Be(Oft1)* >2ео, т. е. es (ft,) > Зє0.
1
в некоторых предель-
Приведем выражения для ных случаях [2]:
T (ц0М
^a (ft)
_ » \а/в«ЛТ/е,(*) _ „\7
бяй I Qe J UJ { E0 0J '
(ft) е. (ft)
|едй)-зе0|<;е0ст,
T (MM2/_0?_у ып \ Qc ) \ es (ft) )
^ JV^oj2
In
es №
Єо C e,(t)<T.
•Зе0)
HoAfe_\2 V fa (ft) -e0) (es(ft)
8nhak '
T C V(Mft)-eo)(e,(ft)-3?).
(25.2.11)
Сложив интегралы столкновений Lc{ti) и Ld {ti\, найдем полное изменение числа магнонов с заданным волновым вектором ftj (в единицу времени), обусловленное процессами их распада и слияния:
(Яг)(3) = ?е{д} + Мя} = 43>{«}- (25.2.12)
Формулы (25.2.6) и (25.2.11) определяют обратные времена жизни спиновых волн с заданным волновым вектором по отношению к процессам слияния и распада. Для оценки роли различных процессов в установлении теплового равновесия в системе магнонов необходимо знать среднюю вероятность процессов слияния и распада магнонов, которую мы будем обозначать через Она, очевидно, определяется
формулой
¦О)'3) :
S
k
Подставляя сюда выражения (25.2.5), (25.2.10) и выполняя интегрирование по ft, получим [1, 3]
( H0Af0 H0Al0 ( T 2|X0Htf
—ъ—вгда 1п —
-258
Ii0Al0 / Ii0Al0
ъ V е<г
ехр
T
2 n0tf<'>
(25.2.13) 3. Вероятность рассеяния магнонов магнонами. Вычислим вероятность рассеяния магнона магноном. Матричный элемент этого процесса можно представить, согласно (25.1.1), в виде
(я, - 1, B2- 1, Я3+1, Я4+ 1 I <3%f\ B1, B2, B3, B4) =
= Ws (12,34) VnlIi2 (я3+ 1) (B4 + 1) A (<k, + A2-A3- A4V
Поэтому вероятность рассеяния магнона магноном в единицу времени равна
К1;Л,-«„,+і. л<+1 ="х-1 ^(12,34) pn^^+D^+Dx
X A (A1 + A2 — A3 — A4) б (?j + є2 — є3 — є4); (25.3.1)
следовательно, изменение числа магнонов с волновым вектором A1 в единицу времени в результате процессов рассеяния определяется формулой
(hx)s= Lf {п), (25.3.2)
где
[n) = 21 Ws (12,34) P {(в, + 1) (я2 + 1) B3B4 -
234
— B1B2(в3+1)(в4+ 1)} A(A1+A2-A3-A4)X
Хб(є1 + є2 — z3 — z4).
Величина Lf {п}, так же как и величина Lf {п\, носит название интеграла столкновений по отношению к процессам рассеяния магнона магноном.
Легко видеть, что планковское распределение магнонов обращает интеграл столкновений Lf {в} в нуль. Действительно, из закона сохранения энергии ?j + e2 = e3+e4 следует:
(B1+ 1)(в2+ 1) B3B4 = B1B2(в3+ 1)(в4+ 1), и поэтому
Lf {в} = 0.
Поступая так же, как и в предыдущем разделе, можно определить время жизни магнона с заданным волновым
17* 269 ^ I ^(12,34)14(^+1) X
вектором по отношению к процессам рассеяния 1 б44) {л} 16я
X «з"4 — «2 ("з + 1) («4 + 1) 1 A (A1 + A2 — A3 - A4) X
X 6 (E1 + є2 — е3 — е4). (25.3.3)
Опуская выкладки, приведем окончательно выражения для (4) до в некоторых предельных случаях [4,5]:
(^''W. т- Mt>с «,да.
1
(к)
Мы видим, что при Т—>0 величина т^4)(А) стремится к бесконечности. Это обстоятельство соответствует тому, что при T = 0 в ферромагнетике отсутствуют «тепловые» спиновые волны. Подчеркнем, что при больших волновых векторах, когда Zs (k) (X0M0, рассеяние происходит главным образом благодаря обменному взаимодействию. Если же I es (k) — є0 I E0- 10 основную роль играет релятивистское взаимодействие.
Формула (25.3.3) определяет время жизни спиновой волны с волновым вектором к по отношению к процессам рассеяния. Усреднив величину -с равновесной функцией рас-
Tj (k)
пределения п (к), найдем среднюю вероятность рассеяния спиновых волн:
W4) = —4-У -J— п (к).
к "
Величина, обратная w^f1, представляет собой среднее время жизни магнона по отношению к процессам рассеяния.
В области температур ,U0M0 <С T С 0С основную роль играют процессы обменного рассеяния и [3,5]
^-^(-?4. . (25.3.5)
-260 § 26. Процессы взаимодействия магнонов и фононов
1. Гамильтониан взаимодействия магнонов с фононами. Перейдем к исследованию взаимодействия между спиновыми волнами и колебаниями решетки. Заметим, что атомы ферромагнетика не являются неподвижными, как мы предполагали при установлении вида гамильтониана ферромагнетика, а совершают малые колебания около положений равновесия— узлов кристаллической решетки. Поэтому в коэффициентах, стоящих перед произведениями операторов рождения и уничтожения магнонов в выражении для гамильтониана ферромагнетика и являющихся функциями радиус-векторов его атомов, мы должны, строго говоря, под Rw понимать
Rw =Ru' +Ul-Ur,
Г> О
где Rw — равновесное значение радиус-вектора, соединяющего I-й и /'-й атомы, и U1— смещение L-го атома из его положения равновесия. Это смещение можно, в свою очередь, разложить на плоские волны:
(26.1.1)
где f и сOpJ (f) — волновой вектор и частота колебаний с поляризацией j, ej(f)— единичный вектор поляризации,
bj (У), bj (f) — операторы рождения и уничтожения фонона с волновым вектором / и поляризацией j, р—плотность вещества.
Таким образом, коэффициенты перед произведениями операторов рождения и уничтожения магнонов в гамильтониане ферромагнетика являются функциями операторов рождения и уничтожения фононов. Так как \ и1\<<^а, то мы можем разложить эти коэффициенты в ряд по степеням компонент Ui — Uv, в результате чего гамильтониан ферромагнетика примет вид
