Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Разлагая функцию распределения магнонов в ряд по обратным степеням параметра
п (ft) = П<°> (ft) +»«>(*)+...
-279 и подставляя это разложение в (27.4.2), получим следующую систему уравнений для определения п(0), п(1), ...:
^Jw(O)J = Oi |2™{ла>}=^_?(4){л(0)}. (27 4 3)
Решение первого из этих уравнений имеет вид (27.4.1).
Замечая, далее, что при произвольном п справедливы соотношения
M3V(1)}U=o = о,
2є5(*)43>(1)) = о, к
получим следующие условия разрешимости второго из уравнений системы (27.4.3):
^ = 44У0)) U1=O, Je1(Ik) ^ = O (27.4.4)
к
(мы учли, что 2 es (k) = 0)- Подставляя в эти урав-
ь
нения квазиравновесное распределение nQ(k), получим уравнения для определения п0 и Ts
V = -X3V, v + c/5 = 0, (27.4.5)
п0
где V = ?0jj-, Cs—теплоемкость спиновых волн, отнесенная к одному атому, и
^ = (27.4.6)
Решение этих уравнений имеет вид:
v(0 = v(0)e-4 Т(і)-Тф) = — ^-(е-^—1).
cs
Используя (27.3.2), можно переписать эти формулы в виде
Af1 (0 = Al1(O)."^, = 1).
(27.4.7)
Мы видим, что Y X3 определяет время релаксации поперечной составляющей магнитного момента. Согласно (27.4.6) оно равно по порядку величины
(27-4-8)
Это выражение совпадает с выражением (27.2.8) для 1 /X3. 280 Обратим внимание на то, что равновесная температура Т = Т(оо) связана с начальной температурой T(O) соотношением
T =z T (0)-{- 6o"o(Q) , (27.4.9)
N C5
т. е. 7,>Г(0). Увеличение температуры объясняется переходом в тепло энергии, связанной с отклонением магнитного момента от равновесного значения.
Полученные результаты относятся, строго говоря, к тому
случаю, когда константа анизотропии или магнитное поле Щ достаточно велики. Как уже отмечалось выше, при этом невозможны процессы слияния и распада магнонов с волновым вектором k = 0. В кристаллах с малой энергией анизотропии (такими кристаллами являются кристаллы кубической симметрии) и в случае достаточно слабых полей становится возможным распад магнона с волновым вектором k = 0 на два магнона. Это приводит к тому, что времена релаксации продольной и поперечной составляющих магнитного момента имеют одинаковый порядок величины [9]. В этом заключается отличие релаксации в случае малой анизотропии и слабых полей от релаксации в случае большой анизотропии или сильных полей, когда установление равновесного значения магнитного момента происходит значительно быстрее поворота момента к равновесному направлению.
§ 28. Теплопроводность ферромагнетиков
1. Поток энергии спиновых волн. В § 20 мы видели, что теплоемкость ферромагнетиков складывается из спиновой и фононной теплоемкостей, причем спиновая теплоемкость превосходит фононную теплоемкость в интервале температур
Q2D
T < -Q-. Поэтому можно ожидать, что и теплопроводность
"с
ферромагнетиков (точнее говоря, ферродиэлектриков, о которых далее только и будет идти речь) в определенных условиях также будет обусловливаться главным образом магнонами, а не фононами [10].
Мы перейдем теперь к изучению теплопроводности ферромагнетиков и определению вкладов в тепловой поток, вносимых магнонами и фононами. Определим сначала плотность потока энергии магнонов.
-281 Согласно (5.2.5) компоненты вектора плотности потока энергии в ферромагнетике имеют вид
где поля E и H в приближении магнитостатики удовлетворяют уравнениям
rot// = 0, div B = O,
rotЕ=-~, Ctivsf = O. с dt
Используя эти уравнения, легко выразить вектор П(і| через компоненты Фурье отклонения плотности магнитного момента от равновесного значения tn(k):
n?> = ±iL 2 e^'f l&p. y(kk')mi{k)~kt(k>m(m+ k, ft'
+ (28.1.1)
Это выражение для плотности потока энергии справедливо и в квантовом случае, если под tn(k) понимать операторы, определяемые формулами (!8.3.6)
т+ (ft) = /2iyM~g+(-ft) + . .., (k) = У2ц0М0 a (ft) ....
т2 (ft) = - 2 а+ W а <*"> A (ft + ft' - Ь").
Используя эти формулы и формулы (18.2.1), можно выразить оператор потока энергии через операторы рождения и уничтожения магнонов:
П(/» = -1 2 М*. k') с+(k') с (k)el+ ft, ft'
4- q>;(ft. k')c(k)c{k')e^k+k'^ + э. с.},
где ф, (ft, ft') И ф^ (ft, ft') — некоторые функции волновых векторов ft и ft'. Производя статистическое усреднение этого оператора, найдем плотность потока энергии в ферромагнетике:
ItfV. 0=2 (<P,(ft. k') KC^ikr) с(k)>el^-"')r + к. с.}, k, k
-282 где
(с+ (Jfe') с (Jfe)) = Sp рс+ (Jfe') с (Jfe)
и р — матрица плотности ферромагнетика (мы учли при этом, что для состояний, близких к равновесному, I (с (Jfe) С (Jfe')) I <С
<С!(С+ (*) с (*0>|).
Вводя далее функцию
п (Jfe, г; t) = ^{c+ (Jfe') с (Jfe)) *'(*-*'>»¦ (28.1.2) ft'
и предполагая kL^> 1, где L — характерные пространственные размеры, на которых заметно меняется функция и (Jfe, r\ t), получим
0 = {ф/(ft. -ft)«(ft. г; t) + K. е.),
к
где, согласно (28.1.1), (18.3.6),
k k2
Фг (k. —к) = 2ji0M0^Л* + 4лц0Ж0 (Л* — | |) —
— 4яц0^о (^ft — I ?* I) -ft- й/з-
Замечая, что
Zs ^ ^0MoakiAk +
+ 4яц0Ж0 ^ (Лй — | I) - 4яIi0M0 (Ak — J I) А. бгз, представим величину П''5' в виде
