Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем приводить здесь полностью выражений для амплитуд 4^(12,3) и Yj(12.34), так как они имеют громоздкий вид, а укажем только порядок их величин.
Учитывая, что uk~vk-- 1, имеем, согласно (18.1.12),
4^(12,3) = -^Фг(12,3), (25.1.3)
где фг (12,3) ~ 1.
Рассеяние магнона магноном обусловливается как обменным, так и релятивистским взаимодействием; поэтому
4^(12,34) = 4^(12,34)+4^(12,34),
где 4г(/)( 12,34) и 4^ (12,34) — амплитуды обменного и релятивистского рассеяния:
4^ (12,34) = A % (12,34), 4^(12,34) = ^9,(12,34),
(25.1.4)
где фг(12,34) « 1. Если (^C^Cl. то
Фе (12,34) = ~ (ftjft2+ k3k4) (25.1.5)
(отметим, что фе и фг — симметричные функции как по первым, так и по вторым двум аргументам).
Зная величины 4rs (1, 2.....п), можно определить вероятности соответствующих процессов взаимодействия спиновых волн. В области низких температур, T <^ Tc, средние вероятности этих процессов уменьшаются с увеличением числа участвующих в них магнонов и наиболее вероятными-являются процессы распада магнона на два магнона и обменного рассеяния магнона магноном.
2. Вероятности распада и слияния магнонов. Вычислим сначала вероятность слияния двух магнонов. Матричный
-254 элемент этого процесса имеет, очевидно, вид
(/I1- 1, п2— 1, /г3+ l| е%43) |/J1, п2, %) = _ 2(г0М0
e^f- Ф; (12.3) VnlIi (я3 + 1) A (A1 + A2- A3),
где /I1, п2 и /I3 — числа магнонов в начальном состоянии. (Мы не учитываем в этом параграфе процессов переброса, при которых суммарное изменение волнового вектора магнонов равно вектору обратной решетки т, умноженному на 2л). Поэтому вероятность (отнесенная к единице времени) слияния двух магнонов с волновыми векторами A1 и A2 в магнон с волновым вектором A3, равна
«r-t =T"I fPr (12.3) F Zt1Zt2^3+ 1) X
X a (A1+ A2- A3) б (є, +є2-є3), (25.2.1)
где Ei==Ei(Ai).
Вероятность обратного процесса — распада магнона с волновым вектором A3 на два магнона с волновыми векторами A1 и A2 равна
KSWn^, =^1T1I Ф,(12.3)Р(Яі 4 1)(«2+ DX
X W3A (A1 +A2- A3) б(E1 +E2- E3). (25.2.2)
Мы видим, что в этих процессах выполняются законы сохранения
E^e2 = E3, A1 + A2 = A3. (25.2.3)
Изменение числа магнонов с волновым вектором A1, в единицу времени в результате процессов слияния и обратных им процессов распада можно представить в виде
(Bi)ff = М«Ь (25.2.4)
где
Ac {я} = -?- itts^o)! 21 фг (12.3) P Krt1 И- 1)(1? + 1)Яз —
23
— «1«2 («3 + 1)} A (A1 + A2 — A3) б (E1 +E2- E3).
Эта величина называется интегралом столкновений, описывающим процессы слияния и распада магнонов,
-255 Легко убедиться, что интеграл столкновений обращается в нуль для планковского распределения магнонов
< r -1
Действительно, в силу закона сохранения энергии E3 = E1 —)— е2, {пх + 1) (л2 + 1) и3 = /I1Zl2 (? + 1 )•
и поэтому
Lc[~n}= 0.
Если числа магнонов га (ft) мало отличаются от своих равновесных значений га (ft),
n(k~) = /г (ft) + ora (ft), I ora(ft) |<C«(A),
то интеграл столкновений Zv (я) можно разложить в ряд по степеням ora(ft) и сохранить только линейные члены разложения. Коэффициент при —6га (ft) в этом разложении представляет собой величину, обратную времени жизни магнона с волновым вектором ft по отношению к процессам слияния. Мы будем обозначать это время жизни через Tc (ft). Легко видеть, что
2, 3
XMft1-M2-*з)0(е,-Ье2 — ез). (25.2.5)
Предполагая для простоты, что энергия спиновой волны Ei (ft) не зависит от направления волнового вектора, es(k) = = E0-^-Qc(Oft)2, и считая фг (12,3) ^— 1, получим [2] 1 __ тс (ft) ~
(^Jibak' I ^(A)-E0 IC е0 С Г,
\ 2я6с ) Ъ ak
Ио^М2 т 1
(25.2.6)
Определим теперь время жизни магнона по отношению к процессам его распада. Матричный элемент этого процесса
-256 имеет вид
(«1 — 1, «2 + 1, Я3 -+- 1 I ЗвТ I ^n2K3) =
= ^L фг (23,1) VrBi(B2H-I)(B3H-I)А (A2H- «3 - Al)-
Поэтому вероятность (отнесенная к единице времени) распада магнона с волновым вектором A1 на два магнона с волновыми векторами A2 и A3 равна
«С?: Л1+1. Лз+і=¦і Ф/. (23,1) P я, («2 н-1) (яэ н-1) X
X A (A2 + A3 — A1) O (е2 + е3 — Є]). (25.2.7) Вероятность обратного процесса равна
Ct3 »,-1. «3-. - -Xii^ і Ф^ (23,1) I2 (я, + 1) Vt3 X
X A (A2 4- A3 — A1) O (е2 + E3- E1). (25.2.8)
Законы сохранения в этих процессах имеют вид
є2 + єз = єі. A2H-A3 = Ai- (25.2.9)
Изменение числа магнонов с волновым вектором A1 в единицу времени в результате процессов распада и обратных им процессов слияния определяется, очевидно, формулой
(Hl)d = Ld (л),
где
23
X [(«1 н- DB2B3-B] (Я2 + 1)(я3Н- Dl X
X А (Al — A2 — A3) O (E1 — E2 — є3).
Отсюда легко найти время жизни Td(A) магнона с волновым вектором А по отношению к процессам распада
1 __ _ 8я Qi0M0)2 -у, ГОо п|2ч.
_ _ 2, 3
X (B2 + Я3 + 1) A (A1 — A2 — A3) O (E1 -E2- E3). (25.2.10)
Считая, что Ei (А) = е0Q17 (аА)2, получим из законов сохранения энергии и импульса
20с(аА2)2 — 26tfo2A1 A2 cos Ъ -+- E0 = 0,
где 0-—угол между векторами A1 и A2- Из этого равенства следует, что процесс распада магнона с волновым вектором Ai
