Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 , кфО,
я«» (k) =
е„(*)-С
< * _1 (27.1.8)
[ Яр, к = 0,
-271 где ?, Ts, O0 — некоторые пока произвольные функции времени.
Обратим внимание на то, что «(0) (0) является произвольной величиной. Это связано со структурой интеграла столкновений содержащего (под знаком интеграла), согласно (25.1.5), выражение (ftift2-|-ft3ft4) A (Jfe1-^-Af2—k3 — ft4) X Xo(6i-f-e2 — є3 — є4), которое обращается в нуль, если один из импульсов магнонов равен нулю. Заметим, что отсюда вытекает также соотношение
L1=O = 0- (27.1.9)
справедливое при произвольной функции распределения магнонов n(k).
Общее решение уравнения L^ {/V(0)} = 0 имеет вид
= -' (27ЛЛ°)
Г^-Х
где T1 — некоторая, пока произвольная функция времени.
Величины Ts, ? и T1 имеют простой физический смысл: Ts и T1 представляют собой температуры системы магнонов и системы фононов, а ?— химический потенциал системы магнонов.
Мы видим, что если учитывать только наиболее сильные взаимодействия в системе магнонов и системе фононов, т. е. обменное рассеяние магнонов и распад и слияние фононов, то температуры магнонов и фононов могут различаться и химический потенциал магнонов может быть отличен от нуля. Мы будем поэтому называть распределения д<0) (ft), N^(Z) квазиравновесными.
Для того чтобы распределения магнонов и фононов стали равновесными (т. е. чтобы температуры Ts и T1 выравнялись, а химический потенциал ? обратился в нуль), необходимо наряду с рассмотренными сильными взаимодействиями магнонов и фононов учитывать также их слабые взаимодействия, т. е. релятивистское рассеяние магнонов и процессы испускания и поглощения магноном фонона.
Таким образом, мы приходим к картине двухступенчатой релаксации в ферромагнетиках, первая ступень которой обусловлена сильными, а вторая — слабыми взаимодействиями в системе магнонов и фононов, причем первая ступень завер-
-272 шается установлением квазиравновесных, а вторая—полностью равновесных распределений.
Ясно, что время установления квазиравновесного бозев-ского распределения магнонов определяется вероятностью обменного рассеяния магнонов и по порядку величины равно
Ч4) ~ є
Время же установления квазиравновесной функции распределения фононов определяется вероятностью процессов слияния (распада) фононов и по порядку величины равно
\5
Ч3)
D
2. Уравнения для определения параметров квазиравновесных распределений. Установим теперь уравнения для определения параметров квазиравновесных распределений [5]. Заметим с этой целью, что интегралы столкновений L^ {«}, L\p' [N] удовлетворяют соотношениям
^в){я} l1-O = 0- {"1=0.
' _ (27 2 1)
2 е, (k) Lf {п) = 0, 2 Ixopj (/) L\p) (W) = 0 к fj
при произвольных функциях распределения для фононов и магнонов. Первое из этих соотношений было доказано выше, второе является следствием сохранения числа магнонов при обменном рассеянии, а третье и четвертое—следствием закона сохранения энергии.
Из этих соотношений и уравнений (27.1.7) для функций я(1) и /V(I) следует, что должны выполняться условия
V дп1]
=2^ (я<°> лп,
jLJ dt
(0) (27.2.2)
л, л,
- лдг(0) -
2 T toI = 2 ^М^' я(о,Ь
/i ii fd\ 18 А. И Алиезер 273 Эти условия, являющиеся условиями разрешимости уравнений (27.1.7) для функций я(1), Л/(1), представляют собой одновременно уравнения для определения параметров квазиравновесного распределения.
Заметим, что вместо последнего уравнения можно пользоваться уравнением
V V*
ZiЄі ~5і—і- Ii fio)i
dt
Ьі /Ji
которое вытекает из того, что
сWf dt
¦ О,
(27.2.3)
Sei^ {я, + [N, я]
/Ji
: 0.
Мы будем считать величины 6Т = Ts-Tl и v=e0-^-,
где TV — полное число атомов в теле, малыми (величина я0/Л/ считается малой, но конечной при N -> оо) и разложим поэтому величины, входящие в уравнения (27.2.2), по степеням бT и v. Сохраняя в разложении только линейные члены, получим
6Г + G1C - V = SttS 4 SjvV 4 Scr 07. 6Г 4 G2C + V = 4 BTvv -H Btt ьт,
V = В v.
v i^vvv*
(27.2.4)
где Cj и C1 — спиновая и фононная теплоемкости, отнесенные к одному атому, и
О
дп
де
дп
W
G9
T
Nc
дп
г Zj дт'
-274 = (27.2.5)
A1 A1
(индекс О означает, что значения производных от интегралов столкновений берутся при ? = V = 07=0). Обратим внимание на то, что
Bit = Brt.
Это соотношение выражает принцип симметрии кинетических коэффициентов Онзагера.
Первые три уравнения (27.2.4) определяют, очевидно, величины 67", ?, V, а четвертое — величины Ts и T1.
Предполагая, что величины бТ, ?, v изменяются по закону е~и, мы получим три возможных значения к. Одно из них равно
= 1 + 2; 1, 2) рХ
12
X пхп2{\ + «1+2)б (є, + є2 —є1+2 —є0), (27.2.6)
а два других Aa и X2 являются корнями квадратного уравнения Г (G2-G1) + к (O2Bvt + Brt-O1Brr-Btt)
+ BvrBri-B11Btt = O. (27.2.7) 18* 275 В области температур Qc T Qg ( ^0^0)'' выражения для A1, Л2, Я3 сильно упрощаются:
М<о 1*рА10 Т_ л _ h IJLYh
Ь уТл Qc ' 2 m-аї \ 9 J
с F (27.2.8)
. U0Af0 H0Af0 / Г \2
