Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем прежде всего, что из уравнения (23.2.1) вытекает формула Блоха для намагниченности ферромагнетика при низких температурах, T<^sJ0. В этом случае величина (Sz) мало отличается от своего минимального значения sz = —1/2. Поэтому в выражении для es(k) можно заменить (sz) на —1/2, в результате чего мы получим
Основной вклад в этот интеграл вносит область малых волновых векторов. Поэтому обменный интеграл, входящий в выражение для Es (k), можно разложить в ряд по степеням k. Считая для простоты, что ферромагнетик обладает кубической симметрией, получим
<*>—?+rnw-
в соответствии с формулой Блоха (см. (20.2.2)).
Вычислим намагниченность ферромагнетика при /Де' = 0 и температурах Т, которые ниже температуры Кюри Tc, но близки к ней. Если H^ = 0 и T = Tc, то, очевидно, (sz) = 0. Поэтому, считая в (23.2.1), что (sz)—>0, получим
4у0 т Г dk _.
(2я)з с J J (0) — J (к) — '
откуда вытекает следующее выражение для температуры Кюри:
Tw?mV- ^
-232 Для простой кубической решетки, в приближении «ближайших» соседей получим отсюда
•р _j Q
с ~ 2 С '
где Jn — обменный интеграл между ближайшими соседями и л я л
C=-A- [dx [ dy [dz-*---»1,51.
(2я)3 J J J 3 — COSX — cosy — cos г -л -л -л
Чтобы найти зависимость (sz) от температуры при T г» Гс (Т < Tc), заметим, что в этой области температур j (sz) 1,
поэтому функцию cth можно разложить в ряд и удер-
жать в нем первые два члена разложения:
cthiA«
2Т е, (А) І З I 2Т / J
Подставляя это выражение в (23.2.1) и учитывая определение температуры Кюри (23.2.2), получим
1C 1C
откуда
(Sz) = -YlsW^i- (23-2-3)
(Заметим, что такую же зависимость намагниченности от температуры в области температур T — Tc (Т < Tc) дает теория фазовых переходов второго рода Ландау [15].)
Если T > Tc и Я^ = 0, то уравнение (23.2.1) решений не имеет.
3. Равновесный магнитный момент ферромагнетика в случае произвольного спина. Уравнение (23.2.1) справедливо при S= 1/2. Если S Ф 1/2, то также можно получить уравнение для (sz), но оно будет иметь более сложную структуру, чем уравнение (23.2.1). Это объясняется тем, что в основное соотношение (23.1.1), связывающее (sz) с (s+s_), ВХОДИТ, кроме (sz), еще (sz). Чтобы исключить эту величину, мы введем обобщенную запаздывающую функцию Грина [16]
G(r)(/ — /', t; a) = -iQ(t)(\sf(t), eas',(0)s+ (O)]). (23.3.1)
-233 Дифференцируя эту функцию по времени и используя приведенное выше выражение для гамильтониана получим
/; а) = — ib{t)bu, ( [s~, A+])-— ZiyLdH^Gin {I — I', /; e)4-
+ І S 0 (t) (Is™{t) sr {t) - sI W eS/+'J) •
m
(тфі)
где Sj = Si(O). Полагая
- /0 (t) (' [s'm (/) s(- (/), eas'' S+] > = (sz) G(r) (I - /'. t; a)
и переходя к компонентам Фурье по времени и координатам, найдем
Qir) (А, со; a) = -LL., (23.2.2)
о — Oj (к) + ДО
где COj(A) определяется формулой (23.1.11).
Аналогичное соотношение справедливо для обобщенной опережающей функции Грина:
„а, < [«Г- "У)
G(a) (А, со; а) == -LiL-— . (23.3.3)
со — as (к) — ДО
Эти функции являются предельными значениями единой аналитической функции
([.,-."У)
О (ft, г; а) = ———=—L!_, (23.3.4)
2 — (os (к)
скачок которой на вещественной оси равен О (ft, co-)-/0; а) — О (А, со — /0; а) =
= — 2л/ <[s-, ee,'s + ])ft(се—©,(*)). (23.3.5)
Через величину этого скачка может быть выражена обобщенная корреляционная функция
Действительно, при выводе формулы (22.1.15) нигде не использовалось то обстоятельство, ЧТО S является СПИНОВЫМ
-234 оператором, поэтому, заменяя в (22.1.15) sf- на eaSrSf и s' на получим
(eaSh + ST(t)):
InN 1 I
G (ft, со + Ю; а) — G (ft, со — Ю; а)
2nN XJ J _ 1
ft —СО
Полагая здесь V-I и ? = 0, получим, используя (23.3.5),
(e-hrsr) = ±({sT, . (23.3.6)
k е s — 1
Входящие в это уравнение средние значения можно выразить через функцию
Ф(а)=\е 1/. (23.3.7)
Действительно, замечая, что = + 1)+ sf— (s*)2>
найдем
(eas's-sr) = s(s + 1) (e't) + (eashf) - (eas' (Sff) =
= s(s+ 1)Ф(0)+Ф'(а) — ф"(а). (23.3.8)
Используя далее соотношения коммутации между Sf и sj~, можно показать, что
[sf. -е«)еа\.
Поэтому
( [sr. eash+}) =-(1- e«) (eash+sr) - 2(eashj) e«. и, следовательно,
( \sr, eash+\ ) = - (1 — e*) s (s + 1) Ф (a) -
— (1 +еа)Ф'(а)+(1 —еа)Ф"(а). (23.3.9)
Подстановка (23.3.8), (23.3.9) в (23.3.6) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения функции Ф(а):
ф"(а) — (1+?)^ ° + ф/(?) (s+ 1)Ф(а) = 0, (23.3.10) (14- УІ) е~ — ЗЇ w ' '
-235 где
W = -JrY-^-. (23.3.11)
N jU р, (А) >
k е s — 1
Чтобы найти Ф(а), необходимо еще знать начальные условия для Ф(а). Одно из них имеет вид
Ф(0)=1. (23.3.12)
Второе условие следует из операторного тождества:
S
П (Sz-P) = O.
P--S
усредняя которое, получим
I
= 0. (23.3.13)
а=0
Решение уравнения (23.3.10) с начальными условиями (23.3.12), (23.3.13) имеет вид
??2s+\esa _(!_)_ gj)2-5+1 e<s+l) а Ф (а) = 1 SR2*+1 - (1 + ЗД2*+ 1I [(1 + Stt) * - - Sttl ' (23-3-14>
