Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ms = (Ms)0 -+^i(Ul-Ur)J +
W VliWlb
+ 1 S (Ul-Ur)a(Um-U^)J ) + ....
iW, mm' ОКц'ОКтт' J0
-261 где индекс нуль означает значение функции при /?ц»=/?д-и а, ? служат для обозначения индексов координат. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой гамильтониан собственно спиновой системы, а остальные слагаемые после подстановки в них выражений (26.1.1) — гамильтониан взаимодействия магнонов с фононами. Мы сохраним в этом гамильтониане, который будем обозначать через ?to sl, только линейные по смещениям атомов члены:
= Яг )а (Il^)0. (26.1.2)
Заметим, что в это выражение смещения атомов входят не порознь, а в виде разностей Ui — щ<¦ Поэтому gf?sl обращается в нуль, если к нулю стремятся волновые векторы фононов.
Мы не будем рассматривать здесь процессы превращения магнона в фонон, которые приводят к существованию связанных магнитоупругих волн и оказывают лишь малое влияние на спектры магнонов и фононов (феноменологическая теория связанных магнитоупругих волн дана в главе IV), а ограничимся только рассмотрением процессов с участием двух магнонов и одного фонона (процессы с участием большего числа частиц при низких температурах менее вероятны). Гамильтониан, описывающий процессы с участием двух магнонов и одного фонона, имеет вид
ЗЄ л = 2 {"4^,(1,23) cUibzA (ftJ — ft2 — ft3) +
123
+ </(12,3)c1+c2+o3A(ft1+ft2 —ft3) + 9. с.} (26.1.3)
(здесь, как и ранее, используются обозначения c; = c(ft;), Ьі === bj (fi)> в гамильтониане не выписаны слагаемые с+с+Ь+ и ccb, так как в первом борновском приближении они не вносят вклада в вероятности переходов).
Входящие в <Ш$і величины Ys; (1,23) и (12,3) представляет собой амплитуды процессов испускания (поглощения) фонона магноном и распада фонона на два магнона. Эти амплитуды можно, согласно (26.1.2), (26.1.1), представить в виде
Ys, (1,23) = -?=, (-Ya O-2Wwsl (1.23), у N \ трЮ3 J
Y^(12,3) = ^f-A_YA/A(12,3).
Vn \ тРW3 j
(26.1.4)
-262 где mF~pa3, фл,(1,23) и ф^(12,3)— некоторые функции от волновых векторов магнона и фонона, равные по порядку величины единице, если Аа<^1 и /а <С1 1-
Отметим, что процессы испускания и поглощения фонона магноном обусловлены в основном обменным взаимодействием, а процессы слияния двух магнонов в фонон и распада фонона на два магнона — релятивистским взаимодействием.
Прибавив к сумме (Ms)0 и Msl гамильтониан Mv описывающий колебания решетки, мы получим полный гамильтониан ферромагнетика M'
M = MojT Mss 4- M1-f Msv (26.1.5)
Здесь Mo по-прежнему обозначает гамильтониан газа свободных магнонов, a Mss — гамильтониан взаимодействия между магнонами (этот гамильтониан определяется формулами (25.1.1), (25.1.2)).
2. Вероятности испускания магноном фонона и превращения двух магнонов в фонон. Рассмотрим прежде всего процессы испускания и поглощения фонона магноном. Эти процессы можно трактовать как черенковское излучение (поглощение) звуковых волн. Излучающей частицей при этом является магнон. Так как закон дисперсии спиновых волн совпадает (в пренебрежении релятивистскими эффектами) с законом дисперсии обычных нерелятивистских свободных частиц, то условие излучения фонона заключается в том, что скорость магнона v должна превосходить скорость звука s.
Замечая, что «масса» магнона равна тт = ¦ и, следовательно, V= — = ^yrQfS5(A), можно представить усло-тт ti
вие излучения в виде
е2
е,(*)>4§7- (26.2.1)
hs
где 0О = —--температура Дебая.
Запишем теперь матричный элемент, соответствующий процессу испускания фонона магноном:
(л, 4-1, л2-1, N^\\Msi\nv п2, N3) =
= 4^(13,2) ]f (W1 4 1)я2(М3+ 1)A(*! +-/з — A2). (26.2.2)
-263 Отсюда следует, что вероятность черенковского излучения фонона равна
9тт
wWr & 1, лг.+і = jT-1(:13-2) I2 (»1 + 1) я* ("з+ 1) X
X A (ft, +/з - ft2) б (є, + h(03 — E2). (26.2.3)
Изменение числа магнонов, обусловленное процессами испускания и поглощения магноном фонона, можно представить в виде
(«,), = ?„{«. Л/}, (26.2.4)
где
Lstin, Л/}=^2П^(23.1)|2Х
23
X [(«, + 1) n2N3 - я, (я2 + 1) (N3 + 1)] Д (ft, - ft2 - /з) X
X ft (є, - є2 - fio>3) +1 Wtl (13,2) p [(я, + 1) (N3 + 1) п2 -
— "іN3 («2 + 1)] д (ft, +/з — ft2) б (є, -f- Ha3 — є2)}.
Легко видеть, что интеграл столкновений Lsl обращается в нуль для равновесных распределений магнонов и фононов
. "/Cfl= haJf) -
* г -1 е т -I
Действительно, в силу закона сохранения энергии (я, + 1) «2д/3 = я, (я2 4-1) (А/3 + 1), («1+0 (N3 + О Щ = nxN3 (п2 + 1),
и поэтому
Lsl [п. N] = 0.
Поступая так же, как в предыдущем параграфе, можно определить время жизни магнона с данным волновым вектором по отношению к процессам испускания и поглощения фонона, которое мы будем обозначать через xsl(k). Обратная величина этого времени жизни определяется формулой
= - таг S і I ^ (2 3; О f (1 + «2+-/V3) X
23
X Д (ft, — ft2 —/з) ft (єі — e2 — йюз) +
+ 1 Wsl (13; 2) P (N3 - n2) Д (ft, +/з - ft2) ft (є, + йа>3 - є2)).
(26.2.5)
-264 Усреднив
1
по равновесному распределению магнонов,
