Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1. Уравнение для запаздывающей функции Грина.
Для нахождения равновесного магнитного момента ферромагнетика мы определяли предварительно термодинамический потенциал ?2. Но к этой задаче можно подойти и с несколько иной точки зрения, а именно можно связать намагниченность ферромагнетика с корреляционной функцией спинов его атомов.
Чтобы убедиться в этом, предположим для простоты, что спин атомов ферромагнетика равен s=i/2- Тогда из известной формулы
—sz-*r(sz)2 = s(s-\- 1) (индекс I мы опускаем) следует, что
(?) = - S (s + 1) + ((*г)2) + (23.1.1)
откуда при s = V2
(sz) = ~j + (s+s_). (23.1.2)
Это соотношение связывает среднее значение спина на ось z с корреляционной функцией (s+ (t)sf (О)) при t = О (ее можно назвать автокорреляционной функцией, так как для нее I = L').
-228 Используя формулы (22.Ы5), (22.2.12), можно представить это соотношение в виде
m /
(Sz)==_i+H±Imy Uob^, (23.1.3)
4 г/ 2 AnvIN Д J '
4 k — со
где /1+(^105) — циркулярная компонента тензора {k, (о), равная
x'_+(ft, о))=х;,(*. ®)+х;у (ft. (o)+i(x;y(ft, © )-х'ух&, ©)).
(23.1.4)
Подставляя сюда выражение (6.1.2), для компонент тензора X (ft, (о) получим, как легко видеть, формулу Блоха для намагниченности.
Введем в рассмотрение запаздывающую функцию Грина:
Gw (I — Л /) = — /0 (О фг (0. Sr (O)])' (23-1.5)
связанную с корреляционной функцией (sf(t)s^,(0)), и попытаемся установить уравнение, которому удовлетворяет эта функция Грина.
Дифференцируя Gw (/— Ґ, по времени и замечая, что
O© (0 A ^
^ =O (О, получим
А Gw (/ - Л () = -10 (0 <[sf (0), (0)]) +
+ j0(0sf(t)], s+(0)j). (23.1.6)
Будем предполагать для простоты, что гамильтониан ферромагнетика определяется только обменным взаимодействием:
e^=~ j SJ s^+2^ Ssl
Іфт I
В этом случае
\<§Ю, Sf] = 2 J Im) {SmSr SlSm) ^H0Hffsf т (тфі)
и уравнение (23.1.6) приобретает вид А Gw (/ — /'. /) = т (о бИ' (sf) - 2/M0Wfow (*-/'./) +
+ T Ii ^)0(0(^(0^-(0-^(0^(0. St щ.
т (тфі)
(23.1.7) 229 В правую часть этого уравнения, кроме искомой функции Грина G(r) (/ — I , t), входит еще функция
0 W ( К (0 Sf (0 - sJ (О (О. S+ (0)] ),
содержащая, в отличие от G(r)(/—Ґ, t), не два, а три оператора спина (она также называется двухвременной запаздывающей функцией Грина).
Если бы мы захотели получить уравнение, которому удовлетворяет последняя функция, то, как легко видеть, пришли бы к функции Грина, содержащей четыре оператора спина. Продолжая этот процесс, мы получили бы бесконечную систему уравнений для функций Грина, содержащих произвольное число операторов спина.
Чтобы определить интересующую нас функцию Грина G^(l—l', /), необходимо каким-то образом связать функцию Грина, содержащую три спиновых оператора, с функцией G(r)(l—/', t). Мы сделаем простейшее предположение, а именно примем, что имеет место соотношение [14]
- і© (О <[s* (0 Sz- (0. S+ (0)]) = (S2) Gw (/ - t), (23.1.8)
где (sz) = (szm) не зависит от номера узла т. Использование этого соотношения в (23.1.7) приводит к следующему уравнению для функции Грина Gw (/—/', t):
Л 0 = 2/0(О (S2) Ьи- — 2ф(Де)0(г) (/ — {, ^ + + 1 ^ J(Rlm){G(r)(l-l', t) — G(r)(m— (23.1.9)
т
(тфі)
Переходя к компонентам Фурье функции G(r)(/ — t) по времени и по пространственным переменным:
Gw (1-і', 0 = "SSV S J Hm-lVat-"*^ Gw (А, со),
S
получим из (23.1.9)
»G(r)(A, ©) = — 2 (sz) + Wi(A)G(r)(А, ©), (23.1.10)
где
Oi(A) = -I^L(./(0)-./(*)). (23.1.11)
-280 Учитывая, что функция Ow (k, со) аналитична в верхней полуплоскости со, найдем отсюда
G{r\k со) =--IM^--. (23.1.12)
со — coj (ft) + ДО
Аналогичным образом может быть найдена компонента Фурье опережающей функции Грина G(a> (l —I , t):
G(a)(k, со) =---. (23.1.13)
со — COs (ft) — ДО
Отсюда следует, что
G (ft, Z) =--2 {tz) • (23.1.14)
г — cos (ft)
Поэтому величина скачка функции G (ft, со) на вещественной оси равна
G(ft, со+ (0)-G(ft, со —("0) = 4л; 6 (со-со, (ft)). (23.1.15)
Найдем автокорреляционную функцию (0) sf (0)) в совпадающие моменты времени. Согласно (22.1.15) имеем
OO
/ + /m /т\ ' V Г J G (ft, Ш -+- До) — G (ft, со — /0) (s+ (0) sj- (0)) = w Jrfco —- g?L_!-" •
fr —CO
Подставляя сюда (23.1.15), получим
^ s — і
где V0 = VIN и интегрирование совершается по объему элементарной ячейки обратной решетки. Эта формула справедлива для любого значения спина s.
2. Равновесный магнитный момент ферромагнетика в случае спина, равного половине. Если s= 1/2, то с помощью (23.1.16) можно сразу получить уравнение, которому удовлетворяет среднее значение проекции спина s2. Действительно подстановка (23.1.16) в (23.1.2) дает
-{^^l^cth^=}, (23.2.1)
где
E4 (к) = tms (ft) = - (Sg) (J(O) - J (ft)).
-231 Это уравнение является трансцендентным уравнением относительно (s2) и, как явствует из его вывода, не ограничено областью низких температур [14].
Как мы сейчас убедимся, формула (23.2.1) приводит к правильным результатам в области низких температур, T T с, и разумным результатам в области температур, близких к температуре Кюри. Поэтому эту формулу можно рассматривать как хорошую интерполяционную формулу во всем интервале температур.
