Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
где COo = gH0] (ось z направлена вдоль HiP). Подставляя эти соотношения в (22.2.20) и используя перестановочные соотношения для операторов полного спина:
[5;, Sk) = ItjklSl,
найдем
058(0, со) =(0, со) = ^r (Sz)J ^L- +
+_і_I
® + ®о + г'0 ) (22-2_21)
GS (0, (о) = GiPy (0, *) = -±{St){o + ^ + IQ-
__\_I
® — ш0 + /0 I
(остальные компоненты тензора Gf)(0, со) равны нулю). Тензор Xu (0, со) определяется формулой
X 1/(0. со) = --ff OiPjiO, «,).
3. Энергия, поглощаемая ферромагнетиком. Покажем, что антиэрмитова часть тензора а) определяет энергию переменного магнитного поля, поглощаемую ферромагнетиком.
Энергия переменного магнитного поля, поглощаемая ферромагнетиком в единицу времени, очевидно, равна
Q(0 = -?-spp(0(tf+ Ю- . (22.3.1)
-224Используя уравнение (22.2.2) для матрицы плотности и выражение (22.2.3) для V, получим
Q (() = 2^0% S1 (t)-Lh (R1, t), і
или, согласно (1.3.3),
Q(О = — \ drM(r, t)~h(r, t).
Переходя к компонентам Фурье величин А (г, t) и tn(r, t), получим
dh (г, t)
Q(t) = —\ drM0(r)-----dt--
СО со
dk I rfco I d<a'<a'el <.*>+«>">' m(k, w) h(— A, <a').
(2я)5
Если переменное магнитное поле действует в течение конечного промежутка времени, то энергия, поглощенная ферромагнетиком, согласно (22.2.11) равна
'JD
? = 72W I dkdk' I rfoXoA'{к' k'<
о
— Xyi ©)}*;(*'• O) (22.3.2)
(мы учли, что x?j(k- k'', to) = Х/у (— — k'< — ш). Предполагая, что компоненты Фурье переменного магнитного ПОЛЯ отличны от нуля только при ak<^ 1, получим
со
Q = W I dk I doXaA'W) f 1^Jik' Ш) ~ (k' Ш)} hi{k'
0 (22.3.3)
где x'(A, to) определяется формулой (22.2.12). Записав эту формулу в виде
OO
Q=J-QaZto. (22.3.4)
о
где
Qv = -^wl dkh'i&- ^[t'ijik, 0))-x;z(A, (0)} Ay(А, (0), 15 А. И. Ахиезер 225видим, что Qa da представляет собой энергию, Поглощаемую ферромагнетиком в интервале частот со, со + da. Величина Qm как функция со определяет форму линии поглощения.
Рассмотрим случай, когда к ферромагнетику приложено периодическое во времени стороннее магнитное поле, изменяющееся с частотой о)0. Тогда
П = со
a^ '>=W S J <***(*• ®«>'*г"в"°-
п— —СХ)
где о>/г = П(о0. Компонента Фурье этого поля равна
OO
A (A, Q)) = 2л 2 h(k, со„)6(0) — сол).
п= ~оо
Используя это выражение и формулу (22.3.1) легко найти среднюю энергию, поглощенную ферромагнетиком за период j_ 2я
CO0
T
?==-1 J Q(ОЛ==j dkdk'(Oah'(k, (Dn) X
О OI > о
X{x'(ft. ft'; ft'; ©Л)|А(А'. со,,). (22.3.5)
Если магнитное поле А (г, t) мало меняется на расстояниях порядка a(ka<^ 1), то
<5=— S J (k' Х
X {х'CA. ©„) -Х/+ (ft' ©„)} A(ft. со,,) (22.3.6)
(см. формулу (10.4.3)).
Выше мы определили тензор /'(0, со) в пренебрежении релятивистскими взаимодействиями. Используя этот тензор, определим теперь энергию однородного переменного магнитного поля A (t), поглощаемую ферромагнетиком. Компонента Фурье этого поля имеет вид
A (ft. со) == (2я)3 б (ft) А (со),
где
OO
ft^=== W I h(t)e^'dt. — 00
-226Подставляя это выражение для A (ft, со) в (22.3.4), получим спектральную плотность поглощенной энергии Qa:
?n
Qa = 2CO0 -± (Sz) I hx (M0) + ihy («в„) I2 б (и - (D0) (22.3.7)
(при этом мы заменили (6(ft2))2 на ^3 6(ft); см., например, [26]).
Эта формула показывает, что поглощение энергии происходит только на резонансной частоте ш == м0. Таким образом, как и указывалось выше, одно только обменное взаимодействие не может привести в случае однородного переменного магнитного поля к уширению линии ферромагнитного резонанса.
Полное поглощение энергии определяется формулой
Un
Q = 2м0 J- {Sz) I A, ((o0) + ihy ((o0) I2. (22.3.8)
Покажем в заключение этого раздела, что тензор х'(А> ш) определяет релаксацию магнитного момента.
Пусть в начальный момент времени t = 0 в системе имеется некоторое распределение плотности магнитного момента /и(0)(г), которое было бы равновесным при наличии постоянного магнитного поля А(0) (г), связанного с начальным распределением магнитного момента соотношением
й»<°> (ft) = J" X'(*• k'' °)А(0) (k')dk'. (22.3.9)
Величина магнитного момента при t > О определяется выражением (22.2.11), в котором в качестве переменного магнитного поля следует взять
А (г, о = 6^-+0.
Такой выбор А (г, t) соответствует адиабатическому включению поля А(0) (г) при t = — оо и мгновенному выключению его в момент г" = 0. Компоненты Фурье этого магнитного поля имеют вид
A (ft, (о) = л6+ (о.) А(0) (ft), (22.3.10)
где
6.4. ((О) = -V-T-^-
• ш (ш — І&)
15* 227и є-> + 0. Подставляя (22.3.10) в (22.2.11), найдем m(k, ®) = л6+(со) J (k, k'\ а) A(0) (Jtf) dkf,
откуда
со
т.(г, O = -^jT J dkdk'
— оо
Xz'(Л. Л': (о) А<0) (Jfer)- (22.3.11)
Так как компоненты тензора (k, ©) являются аналитическими функциями в верхней полуплоскости комплексной переменной со, то при t < О
m(r< O = -^l dkdk'k'\ О)h^(kf), что находится в соответствии с (22.3.9).
§ 23. Спиновые функции Грина и намагниченность ферромагнетика