Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(sf, (0) Sj (0) = S e? <°'?v) (V I sf, (0) І (і) ((і I Sj (t) I V), где ? = Ho
<ц I Sj (t) I v) = Д (Z>~?v> (fi I Sl (0) I V).
Поэтому
(sf, (0) Sj (0)=2 / T (V I sf, (0) I |i)(|i| Sj (0) I V).
Из этой формулы следует, что компонента Фурье корреляционной функции (sf, (0) sj (0)
OO
Jlk (I — V, to) = J dtetat (sf, (0) Si' (*)) (22.1.3)
—со
№ может быть представлена в виде Juil-I'. сй) =
= 2яй 2 e0 (S2_fv) (V I sf, (0)| jx) (jx | Sil, (0) I v) б (Acq + Eyt- Ev).
(22.1.4)
Ясно, что
oo
(s* (O) S11 (O) = -gf J d(oe-Mju (I - I', cd). (22.1.5)
— CO
Из формулы (22.1.4) в силу эрмитовости операторов St вытекает соотношение
J*ik (I — ©) = Ju (У — /, о»). (22.1.6)
Аналогичным образом может быть определена компонента Фурье Jrik (/— /', со) корреляционной функции (s\(t)skr{0)):
OO
(sj (t) Skv (0)) = ^-J" dm-^'J'ik (I — V. со), (22.1.7)
— CO
где
J'ik(l — l', со) =
= 2nh 2 / (p I S1i (0) I V) (v I SkV (O) I и) б (Sa + E - Ev).
HV
Легко убедиться, что
J'lk {1-ї, со) = Л« (/ — /', со). (22.1.8)
Введем наряду с корреляционными функциями двухвре-менные запаздывающие функции Грина [12] *)
GiIl (I - I', t) = — <Є (t) <[s/ (t), Sr (O)]) (22.1.9) и двухвременные опережающие функции Грина
(I — /', t) = (в (- О ([s/ (0, Skv (O)J), (22.1.10)
где
Г 1. *>0.
0(Но. .<0.
*) Метод функций Грина к решению задач ферромагнетизма был впервые применен Боголюбовым и Тябликовым [14].
21$ Используя формулы (22.1.3), (22.1.7) и (22.1.8), легко выразить компоненты Фурье запаздывающей и опережающей функций Грина через функцию Jik (I — V, и) (эта функция называется спектральной функцией):
со
0?(/-/', со)= ' г JttU-I'.
lRX ' 2л J со — со' —[— /О
—со со
-CJO
Заметим, что функция GiiIil—со) является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексного переменного (о, а функция Gfk (і — Ґ, со) — аналитической функцией в нижней полуплоскости со.
Формулы (22.1.11) показывают, что функции GiiIil— /', со)
и Giik (l — со) можно рассматривать как предельные значения единой аналитической функции Gift (/— /', z) комплексной переменной z\
OO
-со
Именно:
G([lil~l', со) = Gift (/—/', со 4-Ю), 0Й} (/ — /', со) = Gift (/ — /'. со - Ю).
Из определения Gik (I — /', 2) следует:
Gik (I — I', со - /0) - Gift (/ — /'. со + Ю) =
==г-(е|Зйсо_ (/__/', а). (22.1.14)
Это соотношение вместе с формулами (22.1.5), (22.1.7) позволяет связать корреляционные функции спинов (sf, (O)S11 (/)),
(*) sf-(O)) с0 скачком функции Gik (I—I', z) на
217
(22.1.1
(22,1.12)
(22.1.13) вещественной оси: <sf,(0)s<(0) =
OO
= i f (0„(/-Л a + iO)-Gik(l-l>, со-Ю)^^.,
-oo
(22.1.15)
<S/'(0 sf, (O)) =
СО
= І J (0<*(/ -ю + - 0« с/ — /',© — •
— OO
Входящую сюда функцию Oik(l — l', со —f-г'О) — Oik (/— I', со — г'О) можно выразить через запаздывающую функцию Грина. Действительно, согласно (22.1.11) и (22.1.6),
OTJ(t-I', (O) = OjtTС/' — /. со) и, следовательно,
Oik (I - со + г'О) -OlkO-I'. со — Ю) =
= ОЙ (/ — /'.©) — GfT (г' — / , со).
Вводя обозначения
ой (ft, со) = 2 e-ikR"'Ott {I - Л со),
і
JiAk, и) = 2 в"'**«'./«(/ — Л со), (22.1.16) і
Ak (k, и)=2 (/ - л со),
і
получим из (22.1.15)
У« (ft, со) = г'Л/(0 {ОЙ (ft, со) — G^T (ft. ©)} ¦
(22 1 17)
j'ik (ft. со) = / (ЛГШ + 1) {Ой (ft, о) - GiT (А. со)}.
где
N = 1 .
® J
2. Связь тензора высокочастотной магнитной восприимчивости с двухвременной запаздывающей функцией
Грина. Покажем, что тензор высокочастотной магнитной восприимчивости может быть выражен через двухвременную запаздывающую функцию Грина [13]. Определим для этого
-218 г
среднее значение оператора S1 в переменном стороннем магнитном поле:
S1V) = Sp S1P(t), (22.2.1)
где р (0 — матрица плотности ферромагнетика в шрединге-ровском представлении при наличии стороннего переменного магнитного поля А (г, t). Она удовлетворяет уравнению
= \т + V, р], (22.2.2)
где е%? — гамильтониан ферромагнетика в отсутствие стороннего переменного магнитного поля и V — гамильтониан взаимодействия ферромагнетика с переменным магнитным полем:
V = Zv0IihiRl, t)st. (22.2.3)
Для нахождения S1 it) перейдем к гайзенберговскому представлению:
, .V ^ "Г" ~~ ^ "57"
sAt) = e h s,e н .
( ( (22.2.4)
pit) =е' * Wp(0» 't^
Матрица плотности в гейзенберговском представлении удовлетворяет уравнению
др
Ih
^ = Wit), р]. (22.2.5)
где V it)—оператор энергии взаимодействия ферромагнетика с переменным сторонним магнитным полем в гайзенбергов-ском представлении:
Vit) = Ivl0I IiiRl, ОS1 (О-
і
В первом приближении по стороннему переменному магнитному полю решение уравнения (22.2.5) имеет вид [8]
t
p(t) = p(—oo) — -jr I [Vitf), pi— оо)] dt', (22.2.6)
— OO
где р(—оо) — матрица плотности системы при t = — оо. Предполагая, что при t = —оо переменное магнитное поле обращалось в нуль, а ферромагнетик находился в состоянии
-219 термодинамического равновесия, мы должны выбрать в качестве матрицы плотности р(—оо) равновесную матрицу плотности р0. Согласно (22.2.6) и (22.2.1) мы получим тогда следующее выражение для среднего значения спина 1-го атома:
