Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
I В* P=L (18.2.3)
Воспользуемся далее квантовомеханическим уравнением движения для a(k):
в (A) = в (А)].
Подставляя сюда выражение (18.1.10) для получим
'а (А) = — ~ Aka (А) — -i- В*ка+ (- А), откуда, учитывая (18.2.1),
а(А) = —В1*к)с(к)-±(АЛ+ А).
С другой стороны,
a (A) = ukc(k) + v*kh+ (— А),
где
с (А) =4 [^sa. с(А)] = -|еДА)с(А).
Сравнение этих формул дает
BkUk + (Л* -I- (A) )Vk = о,
откуда
zs(k) = V A2kBk I2- (18-2.4)
Используя (18.2.3), найдем коэффициенты Uk и vk:
„ - і/'АЖЖ _ Bk -,M-t'W/.Qr)^ К 2Ё7(А) ' --j-?TT V 2? (А) (18-2'5)
(произвольный фазовый множитель в Uk и Vk выбран равным единице).
Заметим, что в пренебрежении релятивистскими взаимодействиями Bk = 0 и Uk= 1, vk = 0, т. е. унитарное преобразование (18.2.1) в этом случае вырождается в тождественное преобразование.
Энергия магнона в пренебрежении релятивистскими взаимодействиями определяется, согласно (18.2.4), (18.1.10). формулой
е5 (A) =At = 2цоМ" + S (У (0) — У (А)). Эта формула переходит при ak <С1 1 в формулу (6.2.4).
181 Приведем, наконец, выражение для энергии нулевых ко» лебаний:
42) = \ Yl (еЛк) ~Лк)- (18.2.6) k
Сложив Ер и W0, найдем энергию основного состояния ферромагнетика:
E0 = Г0 = — s2N Y J(Rlm) — 2[VVrf-f
I
-f (2p0s)2 V 2 (e, {k) _ Аі)ш (18.2.7)
Іфт lm к
Легко убедиться, что энергия нулевых колебаний мала по сравнению с классической энергией основного состояния, т. е. М2) <С W0.
3. Энергия магнона. Определим величины Ak и Вк. Найдем прежде всего суммы, определяющие A0 и B0. Поступая так же, как в § 2, имеем
4і «L -^feL R,. " J «- <•
I 'yIm і u Im Im
>2"
* ._2t. d2 1
rL tK dyL " dxlmdylm Rln
— ?xx — ?v V ~ 2^
Г . ___д2__9. д2 \ 1
J l дх2 dy2 dxdyjr'
где интегрирование производится по объему тела (имеющему форму эллипсоида), из которого исключен объем сферы бесконечно малого радиуса с центром в начале координат, И величины PiJ определяются формулами
п_ V 02 1 ?iJ~v° ,ЇЩЩГ-їь
(RlV <Р>
(величины характеризуют энергию магнитной анизотропии, обусловленную магнитным дипольным взаимодействием, см. § 2).
182 Преобразовав объемные интегралы, входящие в выражения для сумм, в поверхностные,
j drI^-T=jT-J-^ds*-
S
f / d2 __д2 \ 1 _
J dr\dx2 — ду2 Zl дхду) г ~
— — J -Jf {х dSx — у dSy — 2 ix dSy),
5
где 5 — поверхность эллипсоида, и замечая, что, согласно (2.2.2), компоненты тензора размагничивающих коэффициентов можно представить в виде
получим окончательно
RL - З '2
у Retm-Щт /. , д; ,
l7O
"7"
Y
3^o S T- = (?,, - ?yy - Szpjry 4 4л (W1 - W2) )
, Ktm
(оси X, у, Z совпадают с главными осями эллипсоида).
В случае простой кубической решетки ?(;=0 и величины A0, B0 имеют вид
aO = 2^ + 4я^0Ж0 (W1 + W2) + 2^/И0,
B0 = - 4nlVW0(W1-W2).
Величины A0 и B0 определяют энергию спиновой волны с волновым вектором А = 0:
?о = 2pq X_
X V[W^-BAl0-HniM0(W1-W3)] [/^)+РЖ0+4яМ0(W2-W3)].
Сравнивая эту формулу с (10.1.7), мы видим, что
e0 = W>, (18.3.2)
где со(г) — частота однородного ферромагнитного резонанса.
Найдем теперь величины Ak и Bk при j- А а-1. В этом случае можно заменить суммы, входящие в выражения
183 для Ak и Bk интегралами, которые вычисляются элементарно. В результате получим
«о S О - ''"Ч - 4^3 - 4Я4.
I Im
3®о 2-^(1- «'"Ч = 4л (/V1 - /V2) 4- 4л itM .
I Hlm к
Считая для простоты, что решетка является простой кубической, можно пользоваться при ak 1 следующим выражением для J(k):
J(k) = J(0) — J0 - (ak)2,
где J0—обменный интеграл между ближайшими соседними атомами. В результате мы получим следующие формулы для Ak и Bk:
Л, = 2sJ(ak)2 + 2р0Я(/>+ 2p0?Af04- 4лHqMq sin2 G
„. (18.3.3)
Bk =^pyM0Sin2 ^e tp*,
где и Cpk — полярный и азимутальный углы волнового вектора k.
Сравнивая эти формулы с (6.1.3), (6.2.3), мы видим, что энергия спиновой волны ts(k) равна (как и должно быть)
Es(k) = tnus(k), (18.3.4)
где W1(A) — частота спиновой волны с волновым вектором k.
При квантовании спиновых волн мы исходили из микроскопического гамильтониана ферромагнетика, выраженного через операторы спинов атомов. Но квантование спиновых волн можно формально проводить несколько иным путем [4], исходя из макроскопической энергии ферромагнетика, если считать компоненты вектора M (г) не классическими величинами, а операторами, подчиняющимися перестановочным соотношениям
[Afi(г). Mk(r')] = 2iii0emMl(r)6(r-г'). (18.3.5)
Такой подход, как и все макроскопическое рассмотрение, является законным только в случае длинных волн, когда OA<l.
184 Переходя к компонентам Фурье отклонения магнитного момента от равновесного значения
M (г) - Al0 = га (г) = -L J] га (А) в'*'
л
и полагая
m+(k) = тх (A) Imy (A) =
= j ?4 ( А) S «+(*')«+(А")Х
к'к" к"'
Хв(Г)Д(Н*Ч*"- А'") + ... }, (18.3.6) m_(k) = тх (А) — г/иу (А) =
== V^ivW^ j я (А) — S a+(k')a(k")a(k"')X
к'к"к"'
X А (А + А' — А" — А"') + mz (А) =--J] (A') a (A") А (А + А' - А"),
