Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Операторы рождения и уничтожения магнонов и фононов. Чтобы иметь возможность изучать как термодинамические, так и кинетические свойства магнитоупорядоченных кристаллов, желательно с самого начала иметь метод, позволяющий описывать процессы взаимодействия магнонов и фононов. Таким методом является метод вторичного квантования, в котором состояние кристалла задается волновой функцией — или вектором состояния — в пространстве чисел частиц. На эту функцию действуют операторы рождения и уничтожения частиц, которые мы будем обозначать через ct(a), cj (а) для магнона типа j с волновым вектором А и через b+ (f), b .(f) для фонона с волновым вектором / и поляризацией у.
173 Так как МагноНы и фононы подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна, то операторы с+ (ft), с,(ft), b+ (/), b.(f) удовлетворяют перестановочным соотношениям
[с,(ft), (ft')] = 6y/,A(ft-ftO, [Cj(k), C1, (ft')] = о,
Ib1(J)- b). (Л] = bjr А (/-/'), р, (/), Ь., (/')] = О, где [Л, ?] обозначает коммутатор операторов А и В и
1, ft = 0,
Д(*)=По, k ф 0.
Как известно, из этих соотношений следует, что операторы
nj(k) = cUk)Cj(k), Nj(f) = bj(f)bj(f) имеют только целые неотрицательные собственные значения:
c}(k)cj(k) ф........ JV,... = «у(А)Ф...я ....Л- ,...•
11 11 (17.2.2)
Ь) (/) bj (/) Ф... „.... N)... = TV, (/) Ф... „.... ^....
где собственный вектор Ф...П ....Nj... описывает состояние,
в котором имеется tij(k) магнонов типа j с импульсом hk и Nj(f) фононов с импульсом hf и поляризацией j.
Операторы cj~ (ft), b~j (ft) при действии на вектор состояния Ф... rij... Nj... увеличивают число частиц на единицу, а
операторы с, (ft), bj(f) при действии на Ф... П/.... Nj... уменьшают число частиц на единицу:
Cj (k)®...п....Nr. =Vnj (Й)+1Ф...
nJ+l...Nr
(17.2.3)
Cj (к) ф... П} ... Nu .. = VnJW) Ф... nr 1 ...N....,
^ (/)ф... ... VVy ... = /A^THrTФ........ ,v.+1...,
bj(f)^...nj...Nj...=VW(f)^...nr..Nrl...-
По этой причине с+(ft) и bj (/) называются операторами рождения, а с, (ft) и bj(f)—операторами уничтожения магнона и фонона.
Через операторы рождения и поглощения магнонов и фононов можно выразить оператор энергии магнитоупорядо-
174 ченного кристалла. Если бы магноны не взаимодействовали между собой и с фононами, то оператор спиновой части энергии кристалла имел бы вид
S^s=^ihasj(k)cj (k)Cj(k), (17.2.4)
"J
где суммирование производится по всем значениям волнового вектора А и по различным типам j спиновых волн. Действительно, собственные значения этого оператора равны, согласно (17.2.2),
= 2 (*)»/(*)• (17.2.5)
что находится в соответствии с формулой (17.1.4).
Аналогичным образом, если бы фононы не взаимодействовали между собой и с магнонами, то оператор, соответствующий колебательной энергии кристалла, имел бы вид
= 2 йсо„;•(/)*; (f)bj (/), (17.2.6)
fj
где суммирование производится по всем значениям волнового вектора фонона f и по различным поляризациям фононов у. Собственные значения этого оператора равны, согласно (17.2.2),
Ei (/)^(/)- (17.2.7)
fj
§ 18. Представление гамильтониана ферромагнетика с помощью операторов рождения и уничтожения магнонов
1. Реализация операторов спина с помощью бозевских операторов. В главе I мы выразили гамильтониан ферромагнетика через операторы спинов его атомов. С другой стороны, в предыдущем параграфе мы показали, что гамильтониан ферромагнетика в пренебрежении взаимодействиями между магнонами может быть выражен через операторы рождения и уничтожения магнонов. Поэтому возникает фундаментальный вопрос, как связать операторы проекций спина атома с операторами рождения и уничтожения магнонов, иными словами, как построить с помощью операторов с+ (k), c(k), удовлетворяющих перестановочным соотношениям (17.2.1), операторы szr sf, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (1.3.2).
Для решения этой задачи введем в рассмотрение операторы af и а(, удовлетворяющие перестановочным
175 соотношениям
[at. в+] = V- (18.1.1)
и построим с помощью этих операторов, которые мы будем называть бозевскими операторами, операторы [1]
S+ = Sf -f isj = Y2s а+ j/" 1
Sf = Sf-Isl = VTs j/"l -SzI = — s+ajav
2s
(18.1.2)
2s
где радикалы понимаются формально, как бесконечные ряды aiai
по степеням —=— .
zs
Легко убедиться, что построенные таким образом операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.3.2) для операторов спинов. Поэтому операторы sf, Sf, s* можно, казалось бы, интерпретировать как операторы проекций спинов атомов. Однако следует иметь в виду, что операторы sf и sf должны быть эрмитово сопряженными, а оператор s*—самосопряженным. Эти условия эрмитовости выполняются, очевидно, только в подпространстве собственных векторов опе-afa^
ратора 2S ' которые принадлежат собственным значениям
этого оператора, меньшим или равным единице. Поэтому только в этом подпространстве операторы (18.1.2) можно, строго говоря, интерпретировать как операторы спинов атомов.
Перейдем теперь к выяснению связи между операторами a+v Cil и операторами рождения и уничтожения магнонов. Так как первые являются функциями координат узлов решетки, а вторые — функциями волновых векторов, то прежде всего мы перейдем к компонентам Фурье операторов a + , av
