Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
" ft' А-"
легко убедиться, что перестановочные соотношения (18.3.5) удовлетворяются, если операторы а+ (А) и а(А) подчиняются перестановочным соотношениям (18.1.4).
§ 19. Связанные состояния двух магнонов
1. Уравнение Шредингера для связанных состояний двух магнонов. Так как магноны взаимодействуют между собой, то возникает вопрос, может ли это взаимодействие приводить к образованию связанных состояний магнонов. Мы покажем, что в системе двух магнонов возможно существование связанных состояний [5, 6].
Чтобы упростить исследование будем учитывать только обменное взаимодействие, т. е. будем считать, что гамильтониан ферромагнетика имеет вид
' ^ = ^V S sI - і S J(Rim) Vm-
І Іфт
Так как оператор Sz = IiSz1 коммутирует с гамильтонианом , то собственные состояния ,3?? можно характеризовать собственными значениями оператора Sv
185 Мы будем обозначать общие собственные векторы операторов ?/? и S2 через 15)?):
5,|51> = (51 — Лф|91), (19.1.1)
где !R = O, 1, ..., 2Ns. Основному состоянию ферромагнетика соответствует, очевидно, значение Ш, равное нулю. Вектор основного состояния I 0) удовлетворяет уравнениям
Sz | 0) = — A/s | 0), s-|0) = 0. (19.1.2)
где sf = Sf + IsJ. Так как
то второе уравнение гарантирует отсутствие состояний с проекцией спина, меньшей чем —Ns.
Подействовав на вектор состояния | 0) каким-либо из операторов S+, мы получим состояние с !R=I. Но состояние S+1 0) не будет собственным состоянием гамильтониана ферромагнетика Легко убедиться, однако, что, образовав суперпозицию этих состояний:
|1*>=2е"%+|0>. (19.1.3)
і
мы получим собственный вектор гамильтониана и оператора Sz:
Ж\ U> = (?„ + M*))| Ц>, Sz I Ц) = (1 —Ns)\ h), (19.1.4) где En = — 2\X0NsH№ — S2N 2 J(Rlm) — энергия основного
состояния ферромагнетика и є, (k) = 2\i0H^ -)- s(J(0)—J(k)). Так как, согласно (18.1.2),
si~ I 0) = ai I 0),
то состояние І І») представляет собой состояние с одним ма-гноном с волновым вектором k и энергией Ss(Il).
Если подействовать на вектор состояния 10) произведением двух операторов типа s+, то мы получим состояние с !R = 2. В этом состоянии имеется два магнона, которые не обладают, однако, определенными импульсами.
Наиболее общая форма вектора состояния, содержащего два магнона, имеет, очевидно, вид
|2)=2ф(/?г *уК*ло>- (19Л-5)
Ij
186 где величины ар (Ri, Rj) = ар (Rj, Ri) можно интерпретировать как волновую функцию двух магнонов в координатном представлении.
Нас интересуют состояния |2), обладающие определенной энергией. Эти состояния удовлетворяют уравнению Ulpe-дингера
S?\ 2) =Е2\ 2). (19.1.6)
Так как е%?) 0) = Я0| 0), то
S ф (R1, R1) [s+s+ Щ I 0) = - г S Ф (Rr Rj) St^ I 0>.
4 (19.1.7)
где ef = E2 — En.
Чтобы упростить исследование этого уравнения, мы будем учитывать обменное взаимодействие только между ближайшими атомами. В этом случае гамильтониан ?№ имеет вид
— 2p0W{f' ^ Szl 2 ^o S sisi+v
і і. і
где J0— обменный интеграл между ближайшими соседними атомами и суммирование по X обозначает суммирование по ближайшим к 1-му атому соседним атомам.
Используя это выражение для гамильтониана и перестановочные соотношения
[sf, sp] = ±s±ьи„ ^1 = 2.?,,
перепишем уравнение (19.1.7) в виде (Zf - 2H0Wfp + 4SVoV) ф (Rr Rf) = -
= - SJ0 2 {Ф (Rj + p. Ri) + Ф (Rf+ p. Rj)) 4-
р
+/>{ ^(?(*,. /?г)+Ф(/?;, Яу))-Ф(Ri, Rj)}^(Ri^Rj-Р),
(19.1.8)
где р — вектор, соединяющий ближайшие соседние атомы, Y — число ближайших соседей и
f 1, г = 0,
Л(ГНо, гф 0.
187 Чтобы упростить это уравнение, перейдем к импульсному представлению:
ф(/?г, Rj) = Jf Hi6'** 7/Hl etkr^K(к)- (19Л-9)
К к
где
R= ^ (R1 ^ Rj), г = R1 Rj
(суммирование по ft и К производится по первой зоне Брил-люэна).
Подставляя (19.1.9) в (19.1.8), получим
= k'] (19ЛЛ0)
к'
где
VK(k, ft') = 2J0 2 cos ftp ^cos ^Kq — cosft'p)
p
и SK(k) — сумма энергий двух спиновых волн с волновыми векторами ft, =-L/С-k и k.2=^K — ft:
Zk (ft) = є (ft,) 4 є (ft2) = 4|y/(f >+2s J0 2 (1 - COS j Afp cos ftp).
(19.1.11)
Покажем, что интегральное уравнение (19.1.10) может быть сведено к конечной системе алгебраических уравнений. Введем для этого величины
Фд- (P) = 77" S lIv (cos ^kQ- cos aP) • к
Тогда, согласно (19.1.10),
2? (P) = S Ф* (Р'> Вк (Р- P')' (19.1.12)
р'
где
4sJ V1 C0S (C0S "2" ~~ C0S
BK(P. PO = -JrL-(ft)-*
к
Легко видеть, что
фд (*) = t _2/° (k) S ">s ftpcp^ (р). (19.1.13)
P
-188 Приравняв нулю детерминант системы (19.1.12), получим уравнение для определения энергии У состояний с двумя магнонами [6]
det {— 2sA(p — р') +Я* (Р. Р')}=0. (19.1.14)
Легко видеть, что это уравнение при заданном К имеет N корней, равномерно заполняющих интервал энергий:
min tK{k) < У < шахeK(k) (19.1.15)
(переходящих при N-+со в непрерывный спектр собственных значений гамильтониана Sff)- Но, кроме того, уравнение (19.1.14) может также иметь (при N-+оо) изолированные корни. Состояния, соответствующие этим корням, и представляют собой связанные состояния двух магнонов.
