Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ахиезер А.И. -> "Спиновые волны" -> 54

Спиновые волны - Ахиезер А.И.

Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны — М.: Наука, 1967. — 368 c.
Скачать (прямая ссылка): spinovievolni1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 101 >> Следующая


Заметим, что из формул (19.1.10) и (19.1.12) следует, что величина К (будем называть ее квазиимпульсом связанного состояния двух магнонов) представляет собой константу движения. Однако эта величина не входит тривиальным образом ни в энергию У связанного состояния двух магнонов (в виде слагаемого К}\2М, где /VI — некоторая константа), ни в волновую функцию связанного состояния (в виде множителя еіК* в волновой функции в координатном представлении). Это связано с тем обстоятельством, что гамильтониан Sjff не инвариантен относительно преобразований Галилея.

2. Спектр связанных состояний. Перейдем к исследованию спектра связанных состояний двух магнонов. Величины Вц{р, р')> входящие в уравнение (19.1.14), могут быть, очевидно, записаны в виде

Va Г cos ftp Ccos ftp' — а„Л

** (P. PO = W J«—T^-fj- (19.2.1)

p"

где ^ = 3 — ^j- (cf — ар = cos Afp и интегриро-

вание производится по первой зоне Бриллюэна. Так как

— я <; /Ср <; я, то о аР <; і.

Величины Bk (р, р'), как видно из (19.2.1), являются аналитическими функциями в плоскости комплексной переменной t с разрезом вдоль вещественной оси, — 2 ctP ^

р

sC^2 ар- В этом интервале, согласно (19.1.15), лежит р

непрерывный спектр собственных значений гамильтониана.

-189 Дискретный спектр гамильтониана (если он существует) лежит вне этого интервала, т. е. при

\t і > 2 «р. р

Исходя из физических соображений, область существования связанных состояний можно еще более сузить. Действительно, по смыслу связанного состояния cf = cf (К) < є^. (А) для всех значений А. Поэтому (К) < (0) = 4ц0#(,е>-J-+ 4^0^3 — 2 арV Отсюда следует, что t 2 cV

V р / р

Чтобы установить верхний предел для переменной t, заметим, что уравнение (19.1.14) не содержит явно магнитного поля Н{ое). Поэтому для нахождения верхнего предела переменной t достаточно рассмотреть случай H^ = Q. Так как cf > 0 (в силу устойчивости основного состояния ферромагнетика), то t < 3. Это неравенство определяет верхний предел переменной t и при наличии магнитного поля.

Таким образом, область существования связанных состояний определяется неравенствами

2«р<^<3. (19.2.2)

р

Дисперсионное уравнение (19.1.14) является очень сложным. Поэтому, чтобы упростить задачу, мы рассмотрим сначала случаи одномерной и двумерной решеток. Величины Вк(P- PО сохраняют при этом формально свой вид (19.2.1), если под Аир понимать одномерные и двумерные векторы, а под V0K2л)3 — величину (а/2n)d, где d — размерность решетки. Параметр t связан при этом с ^f соотношением

t = d--(cf — 4IxffW^)), и область связанных состояний

определяется неравенствами

2 (19.2.3)

р

Рассмотрим сначала одномерную решетку. Величина B^ равна в этом случае

В — t~a2 \t\ — Vt2— а2

а2 ' Vt2 — а2 и дисперсионное уравнение (19.1.14) принимает вид

2sa2 (t2 —- a2)''2 = (* — а2)(± t — Yt2- а2), (19.2.4)

-190 где нижний знак соответствует случаю t < — а, а верхний знак — случаю t > а. Так как при f<—а левая и правая части этого уравнения имеют противоположные знаки, то оно не имеет решений при / < — а.

Если уравнение (19.2.4) при / > 0 переписать в виде

p(t) = q(t),

где

p(t) = 4st2[t+a?(s — 1)], q{t) = \t-\- (2s— 1)а2]2,

то очевидные неравенства p(a)^q(a) и p(\)^q(\) показывают, что a^f^l. Эти неравенства находятся в соответствии с (19.2.3) при d= 1.

При s=l/2 уравнение (19.2.4) имеет единственное решение /(a) = -1(1 + a2) < 1- Этому решению соответствует энергия связанного состояния *): ^(/0 = 4(1^ + -|~-I./0(l—cosffp). (19.2.5)

На рис. 6 показана структура , спектра двухмагнонных состояний в одномерном случае (й?=1). Непрерывной части спектра соответствует область — a а (на рис. 6 она

заштрихована). Любому значению а в интервале соответствует единственное связанное состояние при a -^/(a)-^ 1, причем, как легко

видеть, t (O) = -. Значение

t (a) = 1 достигается при a = 1.

Перейдем теперь к рассмотрению связанных состояний в двумерном случае (d = 2). Величины Bk в этом случае могут быть выражены через полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. Мы не будем этого здесь делать, а ограничимся рассмотрением только некоторых частных случаев.

*) Этот случай был впервые исследован Бете [5].

-191 Пусть сначала Ot1 = Ci2 случае в интервале

а. Можно показать, что в этом О (-І— l] имеется два связан-



^2(O)

ных состояния причем /] (0) :

/і (а) при

примыкает к не-

Z2(Ct)1 J_

= 4s ' а =

1-1 л

Состояние _ _1_ — 2 s

прерывному спектру. При а >

— l) имеется только

одно связанное состояние /2(а), причем /2(1) = 2. Структура спектра двухмагнонных состояний при Cii = Ci2 = Ci показана на рис. 7, из которого видно, что /2<2. Это нахо-

дится в соответствии с неравенствами (19.2.3).

Если Ci2 = 0, Oj= а, то исследование корней уравнения (19.1.14) производится совершенно элементарно. В этом случае в интервале 0 ^ а 1 имеется два связанных состояния. Одно из этих состояний /] (а) в точности совпадает со связанным состоянием в одномерном случае, другое же определяется формулой
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed