Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что из формул (19.1.10) и (19.1.12) следует, что величина К (будем называть ее квазиимпульсом связанного состояния двух магнонов) представляет собой константу движения. Однако эта величина не входит тривиальным образом ни в энергию У связанного состояния двух магнонов (в виде слагаемого К}\2М, где /VI — некоторая константа), ни в волновую функцию связанного состояния (в виде множителя еіК* в волновой функции в координатном представлении). Это связано с тем обстоятельством, что гамильтониан Sjff не инвариантен относительно преобразований Галилея.
2. Спектр связанных состояний. Перейдем к исследованию спектра связанных состояний двух магнонов. Величины Вц{р, р')> входящие в уравнение (19.1.14), могут быть, очевидно, записаны в виде
Va Г cos ftp Ccos ftp' — а„Л
** (P. PO = W J«—T^-fj- (19.2.1)
p"
где ^ = 3 — ^j- (cf — ар = cos Afp и интегриро-
вание производится по первой зоне Бриллюэна. Так как
— я <; /Ср <; я, то о аР <; і.
Величины Bk (р, р'), как видно из (19.2.1), являются аналитическими функциями в плоскости комплексной переменной t с разрезом вдоль вещественной оси, — 2 ctP ^
р
sC^2 ар- В этом интервале, согласно (19.1.15), лежит р
непрерывный спектр собственных значений гамильтониана.
-189Дискретный спектр гамильтониана (если он существует) лежит вне этого интервала, т. е. при
\t і > 2 «р. р
Исходя из физических соображений, область существования связанных состояний можно еще более сузить. Действительно, по смыслу связанного состояния cf = cf (К) < є^. (А) для всех значений А. Поэтому (К) < (0) = 4ц0#(,е>-J-+ 4^0^3 — 2 арV Отсюда следует, что t 2 cV
V р / р
Чтобы установить верхний предел для переменной t, заметим, что уравнение (19.1.14) не содержит явно магнитного поля Н{ое). Поэтому для нахождения верхнего предела переменной t достаточно рассмотреть случай H^ = Q. Так как cf > 0 (в силу устойчивости основного состояния ферромагнетика), то t < 3. Это неравенство определяет верхний предел переменной t и при наличии магнитного поля.
Таким образом, область существования связанных состояний определяется неравенствами
2«р<^<3. (19.2.2)
р
Дисперсионное уравнение (19.1.14) является очень сложным. Поэтому, чтобы упростить задачу, мы рассмотрим сначала случаи одномерной и двумерной решеток. Величины Вк(P- PО сохраняют при этом формально свой вид (19.2.1), если под Аир понимать одномерные и двумерные векторы, а под V0K2л)3 — величину (а/2n)d, где d — размерность решетки. Параметр t связан при этом с ^f соотношением
t = d--(cf — 4IxffW^)), и область связанных состояний
определяется неравенствами
2 (19.2.3)
р
Рассмотрим сначала одномерную решетку. Величина B^ равна в этом случае
В — t~a2 \t\ — Vt2— а2
а2 ' Vt2 — а2 и дисперсионное уравнение (19.1.14) принимает вид
2sa2 (t2 —- a2)''2 = (* — а2)(± t — Yt2- а2), (19.2.4)
-190где нижний знак соответствует случаю t < — а, а верхний знак — случаю t > а. Так как при f<—а левая и правая части этого уравнения имеют противоположные знаки, то оно не имеет решений при / < — а.
Если уравнение (19.2.4) при / > 0 переписать в виде
p(t) = q(t),
где
p(t) = 4st2[t+a?(s — 1)], q{t) = \t-\- (2s— 1)а2]2,
то очевидные неравенства p(a)^q(a) и p(\)^q(\) показывают, что a^f^l. Эти неравенства находятся в соответствии с (19.2.3) при d= 1.
При s=l/2 уравнение (19.2.4) имеет единственное решение /(a) = -1(1 + a2) < 1- Этому решению соответствует энергия связанного состояния *): ^(/0 = 4(1^ + -|~-I./0(l—cosffp). (19.2.5)
На рис. 6 показана структура , спектра двухмагнонных состояний в одномерном случае (й?=1). Непрерывной части спектра соответствует область — a а (на рис. 6 она
заштрихована). Любому значению а в интервале соответствует единственное связанное состояние при a -^/(a)-^ 1, причем, как легко
видеть, t (O) = -. Значение
t (a) = 1 достигается при a = 1.
Перейдем теперь к рассмотрению связанных состояний в двумерном случае (d = 2). Величины Bk в этом случае могут быть выражены через полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. Мы не будем этого здесь делать, а ограничимся рассмотрением только некоторых частных случаев.
*) Этот случай был впервые исследован Бете [5].
-191Пусть сначала Ot1 = Ci2 случае в интервале
а. Можно показать, что в этом О (-І— l] имеется два связан-
^2(O)
ных состояния причем /] (0) :
/і (а) при
примыкает к не-
Z2(Ct)1 J_
= 4s ' а =
1-1 л
Состояние _ _1_ — 2 s
прерывному спектру. При а >
— l) имеется только
одно связанное состояние /2(а), причем /2(1) = 2. Структура спектра двухмагнонных состояний при Cii = Ci2 = Ci показана на рис. 7, из которого видно, что /2<2. Это нахо-
дится в соответствии с неравенствами (19.2.3).
Если Ci2 = 0, Oj= а, то исследование корней уравнения (19.1.14) производится совершенно элементарно. В этом случае в интервале 0 ^ а 1 имеется два связанных состояния. Одно из этих состояний /] (а) в точности совпадает со связанным состоянием в одномерном случае, другое же определяется формулой