Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
flI = ^Se<*>'"*'¦ at = yw^a+{k)e~ikRl' (18Л'3)
где N — число элементарных ячеек в теле, и волновой вектор ft лежит в первой зоне Бриллюэна.
Легко убедиться, что операторы а+(k), a (ft) удовлетворяют перестановочным соотношениям
[a(ft), a+(ft')] =A(ft—ft'), \a(k), a (ft')] = 0. (18.1.4)
176 где
f 1, A = O, A(A) = {o, А ф о,
совпадающим с перестановочными соотношениями (17.2.1) для операторов рождения и уничтожения магнонов C+(A) и с (А). Поэтому можно утверждать, что операторы а+(А), а (А) и с+(А), с(А) связаны между собой некоторым унитарным преобразованием. Чтобы найти это преобразование, необходимо иметь конкретный вид гамильтониана ферромагнетика, выраженного через операторы спинов его атомов. Предполагая для простоты, что гамильтониан магнитной анизотропии имеет вид
4 ^o fxO=
\e\h м —
2тс ' 0 V1
где ? — константа анизотропии (ось z направлена вдоль оси анизотропии), мы будем исходить из следующего выражения для гамильтониана ферромагнетика:
^ = -T S7(^)5A- +
Ij=V
+:W0 S -ZT (^г?г - 3 (RwSr) (RirSl)) +
Ij=V
+ 2ц0/# > 2 s\z) - 4 MoM0 2 (,?)2. (18.1.5) і і
Здесь первое слагаемое представляет собой гамильтониан обменного взаимодействия, второе слагаемое — гамильтониан магнитного дипольного взаимодействия и третье слагаемое — гамильтониан взаимодействия спинов со сторонним магнитным полем (для простоты мы считаем, что это поле направлено вдоль оси анизотропии).
Выразим гамильтониан ферромагнетика через бозевские операторы а+(А) и а(А). Запишем (18.1.2) в виде рядов по
aiai .
степеням
2s
st =V2s{a+-^afafat+ ...}, ST=VTs{at-±a+apt+ ...}, (18.1.6)
s* = — s + a+at
12 А. И. Ахиезер 177 и подставим эти разложения в (18.1.5). Тогда гамильтониан ферромагнетика представится в виде
Sfes = Wo + ёвТ 4 &?f + + .... (18.1.7)
где W0 не содержит операторов a+, av
W0 =
= -4" S y^"') - 2HorfyV + 2цо®Жог»о ^ '
(18.1.8)
Stf^ — некоторая квадратичная форма относительно операторов a + , ar Sffii^ — форма третьего порядка относительно
этих операторов, H^ — форма четвертого порядка и т. д.
Величина W0 представляет собой, очевидно, энергию ферромагнетика в основном состоянии, когда спины рассматриваются как классические величины.
Мы приведем здесь явное выражение только для оператора
Mf = {л, (Rlm) а+ ат 4- A2 (Rlm) а+а, 4 \ B(Rlm)aflm4
1фт
+ (18.1.9)
где
2u2s
A1 (Rtm) = - 2SJ(Rlm) - -J- {Rim — 34Д
Im
A2 (Rlm) = 2sJ (Rlm) - ^ (R)m - 3zJm) 4 Wo 4 P^f0).
Im N
в (Rlm) = — {Rrmf. Rtm = Xlm ± iylm,
liIm
Переходя в выражении для Stffj^ от операторов af, аі к их компонентам Фурье согласно формулам (19.1.3), получим
P%?f = J Aka+ (ft) a (ft) 4 j Bka (ft) a (ft) 4 k
+ Itf^+(ft) a+(ft)}, (18.1.10)
178 где
A6 = A0+2n*s J (1 - еіь*ш) + 2s (J(O)-Hk)),
¦Im 0
rL
.2 Im
/ hiIm
J(k) = IlJ(Rlm) eik"tm і
и
„ p2
Ло == 2ц0 w + ?^o) - 6M& S Vs ,
Ло = 2цо W + ?M0) - 6(i?s J]
г
Поступая аналогичным образом, можно представить операторы
в виде [2]
Sf?? = 2 (Ф (12,3) а+а+аф,(A1 + A2- А3)+э. с},
= S {^(12.34)0+0+030^(^ + A-A3-A4)+ (18.1.11) + Ф'5 (123,4)а+а+а+а? (A1 + А2+А3-А4) + э. с.}, где Ф^ (12,3), ФД12.34) и Ф^ (123,4) — некоторые функции
от волновых векторов Ai (мы пользуемся обозначениями I=A1, 2 —A2 и не учитываем процессов переброса). По порядку -величины
Функция Ф, (12,34) в области волновых векторов
Ф5 (12,34) = ± [J (A2 - A4) + J(А, - A3) + J(A1 - A4) +
+ J (A2 - A3) - у (A1) - J (A2) - J (A3) - J (A4)) • (18.1.13)
имеет, согласно (18.1.11) и (18.1.5), вид
12*
179 Если у ^0^0 <С ak 1 (J0— значение обменного ин-r J о
теграла между соседними атомами), то
Ф,(12.34)»- -^e2(MaH-M4)- (18.1.14)
Наконец, если ak 1/ 0 , то
f Jq
Ф5(12,34) ~ _ (18.1.15)
Оператор представляет собой гамильтониан невзаи-
модействующих спиновых волн или, выражаясь иначе, га-мильтониан идеального газа магнонов, а операторы So s\ — гамильтонианы взаимодействия магнонов друг с другом. Поэтому мы будем пользоваться также обозначениями
Stes = ж Sfess,
где
SV0=SV?, mss=mf...
2. Унитарное преобразование. Мы можем теперь установить вид унитарного преобразования, связывающего бозев-ские операторы а+(k), a(k) и операторы рождения и уничтожения магнонов c+(ft), c(k). Это преобразование, которое мы запишем в виде [1, 3]
a (k) = и.с (k) + v'.c+ (— k),
* V * } (18.2.1) a+(A) = ^c+ (A) + tf4c(_ A),
где Uk и vk — некоторые функции волнового вектора k, должно приводить квадратичную форму Sf6? к диагональному виду
Mf = Ef + 2 E5(A) с+ (k) с (k). (18.2.2)
Здесь Es(A) — энергия магнона с волновым вектором А и E?—величина, не содержащая операторов рождения и уничтожения магнонов, которую можно интерпретировать как энергию нулевых колебаний в системе спинов.
Покажем, как найти величины Uk и vk. Прежде всего, так как операторы ?+(A), а(А) и с+(k), с (А) удовлетворяют одинаковым перестановочным соотношениям, то Uk и Vk
180 должны удовлетворять условию
