Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
M2 = Const, (5.4.3)
52 означающее, что уравнения движения (5.2.1) вырождаются в систему двух дифференциальных уравнений. Поэтому в этом случае уравнения движения магнитного момента будут несовместны с тремя граничными условиями (5.4.2).
Такая ситуация возникает, например, в том случае, если положить в выражении (5.2.7) для тензора г,-• константу T2 равной бесконечности.
Чтобы понять причину этого противоречия, предположим, что величина T2 хотя и велика, но конечна. Тогда при любом конечном T2 уравнения движения магнитного момента (5.2.1) будут совместны с граничными условиями (5.4.2). Отсюда следует, что при больших T2 вблизи границы должен образовываться пограничный слой, толщина которого стремится к нулю при X2-^-Oo и в котором нельзя пренебрегать дис-сипативными слагаемыми, нарушающими закон сохранения (5.4.3). Толщина этого слоя по порядку величины равна
а
- , где <й — частота изменения магнитного момента.
WT2
В пограничном слое происходит резкое изменение вектора vk—^jf > так чт0 вблизи поверхности, но вне пограничного д дхк
слоя граничные условия (5.4.2) уже несправедливы.
Посмотрим, как можно получить из граничного условия (5.4.2) и уравнений движения магнитного момента (5.2.1) новое эффективное граничное условие в случае т2—>-оо, которое позволило бы избежать детального рассмотрения свойств пограничного слоя.
Интегрируя уравнения движения (5.2.1) по толщине пограничного слоя в направлении нормали к поверхности ферромагнетика и учитывая граничное условие (5.4.2), получим
б б
д Г., J Cj С „ ^f ^d) dF \ дМ . , dF
dt J ^ — s J ^ ^ /s дм I дг /ч ш
0 0 ( д-дГ
+ -MX1 +/?! +
г=й
53 где г — координата вдоль нормали (z = 0 соответствует границе ферромагнетика). Так как Af и могут иметь в пограничном слое только конечный разрыв Io-образное изме-
д dF \
нение испытывает только —-щ- і и толщина слоя б при
T2 —> оо стремится к нулю, то в отсутствие диссипации (R = 0) мы получим из последнего уравнения
aiXV4-Ie-
дхк
= О (5.4.4)
(векторное произведение вычисляется вблизи поверхности, но вне пограничного слоя). Условие (5.4.4) и представляет собой искомое граничное условие в отсутствие диссипации.
Заметим, что граничное условие (5.4.4) также обеспечивает непрерывность нормальной составляющей плотности потока энергии. Действительно, используя формулы (5.4.1) и непрерывность тангенциальных составляющих электрического и магнитного поля, получим
п rr dF dAt
+v ~ v*
dxk
Но так как в рассматриваемом случае
дМ ,... , йгч
-w = g(MXH).
то
n_v - n+v = - gH [ At X V, -?g-
\ dxk
откуда в силу граничного условия (5.4.4)
II_v = II+v.
б. Равновесные состояния ферромагнетиков и линеаризованное уравнение движения плотности магнитного момента. Из уравнения движения плотности магнитного момента (5.2.1) следует, что, приравняв нулю эффективное магнитное поле, мы получим уравнение для определения равно-
54 весных значений плотности магнитного момента
H = 0. (5.5.1)
Вспоминая определение эффективного магнитного поля
мы видим, что обращение эффективного магнитного поля в нуль соответствует минимуму энергии ферромагнетика. Используя выражение (3.3.1) для энергии ферромагнетика, легко убедиться, что *)
й = „(I, __ Л*. _ 2мґт + ^ . (5.5.2,
Мы будем далее изучать только простейший и наиболее важный случай, когда равновесному состоянию ферромагнетика соответствует однородное намагничение и не будем изучать явлений, связанных с возможной доменной структурой ферромагнетика. Если ферромагнетик помещен в однородное и постоянное стороннее магнитное поле Нд\ то для однородности намагничения необходимо, как мы видели в § 2, чтобы ферромагнетик имел форму эллипсоида. В этом случае, который мы и будем далее рассматривать, поле внутри ферромагнетика Hf и стороннее магнитное поле Hf связаны между собой соотношением
Hf = Hf- AkNMq, (5.5.3)
где М, — равновесная плотность магнитного момента и N — тензор размагничивающих коэффициентов.
Условие равновесия в случае однородного намагничения имеет вид
Для одноосного ферромагнетика
wa{M) = — i? (Mn)2
(я— единичный вектор вдоль оси анизотропии) и, следовательно,
Hf + ?ft (M0ft) — 2M0/' (Afg) == 0,
*) Эффективное магнитное поле, действующее на магнитный момент ферромагнетика, было введено Ландау и Лифшицем [3].
55 или
Hf + ?п (M0W) — AnNM0 — 2M0/' (М2) = 0. (5.5.4)
Последнее уравнение в принципе может служить для определения равновесной плотности магнитного момента M0 при заданном стороннем поле H0K Однако фактически вид функции /(M2) нам неизвестен, и поэтому модуль вектора M0 определить с помощью (5.5.4) нельзя; направление же вектора M0 при заданной его величине определяется уравнением (5.5.4) полностью. Действительно, умножая (5.5.4) векторно на M0, мы получим уравнение
{Hf + ?« (M0rt) — AnN M^j XM0 = 0, (5.5.5)
не содержащее /'(М^), из которого можно найти M0ZM0. Это уравнение имеет, вообще говоря, несколько решений, и мы должны взять те из них, которые соответствуют минимуму плотности энергии W (M) ферромагнетика,
