Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
w(M) = —^ ? (Mrt)2 — HfM — і Н(т)М =
= — ^ P (Mrt)2 — H10elM + 2яMNM.
Рассмотрим в качестве примера ферромагнетик, имеющий форму сферы, и предположим, что Hf = 0. В этом случае уравнение (5.5.5) принимает вид
(М0«) (M0 Xn) = 0.
Таким образом, M0 может быть направлено либо параллельно, либо перпендикулярно оси анизотропии.
Если ? > 0, то минимум энергии достигается при M0 || п. В этом случае говорят о ферромагнетиках с магнитной анизотропией типа «легкая ось». Если ? < 0, то минимум энергии достигается при M0 J_ п. В этом случае говорят о ферромагнетиках с магнитной анизотропией типа «легкая плоскость». Схематически результаты решения уравнения (5.5.5) в некоторых наиболее интересных случаях приведены на рисунках на стр. 198—199.
В дальнейшем мы будем изучать малые адиабатические (х = 0, 5 = const) колебания плотности магнитного момента ферромагнетика «М и соответствующие колебания магнитного поля //((> около их равновесных значений. Уравнение движения плотности магнитного момента в этом случае сильно
56 упрощается, так как эффективное магнитное поле становится линейной функцией отклонений магнитного момента и магнитного поля от их равновесных значений.
Рассмотрим, например, одноосный ферромагнетик. Полагая
M (г, t) ~М0-\~т (г, t), Hw (г, t) = Hf + h (г, t),
где т и h — малые отклонения от M0 и Hf, получим, согласно (5.5.2), (5.5.4), следующее выражение для эффективного магнитного поля с точностью до квадратичных по т и h членов:
H = h + aik --JL {M0ZZo'' + ? (М0л)2} т +
Oxidxk MlJ
+ ?n (tnti) — 4М0/" (M20) (М0т). (5.5.6)
Поэтому уравнение движения плотности магнитного момента в случае малых отклонений от равновесных значений, которое мы будем называть линеаризованным уравнением движения, имеет вид дт
dt
M0X
h + <% т^Т--^Vn О"«) —
UXi OXh
M1
F(M0tf<° + ?(Afo")V о
(5.5.7)
Если ферромагнетик обладает магнитной анизотропией типа «легкая ось» (? > 0) и Hf параллельно вектору п, то линеаризованное эффективное магнитное поле равно
(5.5.8)
Если ферромагнетик обладает магнитной анизотропией типа « іегкая плоскость» (? < 0) и Hf _]_«, то линеаризованное эффективное магнитное поле равно
Hf д2т „ , 2ч
H = h-~-m+aik ^ + ?« (тя) — 4М0/ (M20) (М0т).
(5.5.9)
К линеаризованному уравнению движения плотности магнитного момента (5.5.7) должны быть присоединены граничные условия для плотности магнитного момента. Общее граничное условие для плотности магнитного момента было
57 = 0,
сформулировано выше:
dF
, дМ v*
д т— дхк
где F— плотность энергии ферромагнетика, определяемая формулой (3.3.2), и V — единичный вектор вдоль внешней нормали к поверхности ферромагнетика.
Нас интересуют малые отклонения магнитного момента от равновесного значения и малые градиенты момента. В этом случае
dF _ дпіі . _! дуIk \
дхк
и граничные условия приобретают вид
+ = (5'5Л0)
В предыдущем разделе мы видели, что если не учитывать диссипативных процессов, нарушающих закон сохранения квадрата плотности магнитного момента, то граничные условия (5.4.2) становятся несправедливыми и должны быть заменены условиями (5.4.4). В этом случае вместо (5.5.10) мы получим
: 0. (5.5.11)
Если в числе элементов симметрии кристаллической решетки имеется центр инверсии, то, как известно, для нее нельзя построить тензор третьего ранга, т.е. yik. l = 0, и граничные условия (5.5.11) принимают вид
дт
= 0 (5.5.12)
S
(заметим, что т J_ Al0).
Во многих случаях энергия анизотропии сильно возрастает вблизи поверхности ферромагнетика, и поэтому коэффициенты в линеаризованном уравнении движения плотности магнитного момента будут зависеть от координат. Это сильно осложняет исследование уравнений движения. Однако, как мы сейчас покажем, если длины волн, связанных с колебаниями плотности магнитного момента, велики по сравнению с толщиной слоя 6, на котором существенно изменяется константа
58 анизотропии, то в уравнении движения магнитного момента можно не учитывать зависимости константы анизотропии от координат, но при этом следует пользоваться некоторым эффективным граничным условием вида (5.5.11), в котором величины у,*.; определяются характером зависимости константы анизотропии от координат.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что ось анизотропии перпендикулярна границе ферромагнетика и константа анизотропии зависит от расстояния z до границы, ? = ?(2) (ферромагнетик занимает полупространство z > 0). Линеаризованное уравнение движения плотности магнитного момента имеет тогда вид
dm
dt
¦ = g[M0 X нJ,
где
H = h — ?(z)tn-\~a Д т.
Предполагая, что функция ? (z) резко возрастает в тонком слое толщины O, на котором т и h практически не меняются, получим после интегрирования этого уравнения по z от нуля до O
, o
дт
dt
¦g
M0X hb
— mj?(z)
dz-|-a
dm ~dz~
+
fdbn
\ dx2
d2m \
w
(5.5.13)
dm
причем здесь мы учли, ЧТО -^J-условия (5.5.12).
Z = O
= Ob силу граничного
Предполагая далее, что при 6—>-0 интеграл J ?(z)dz
