Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Wd^d ((M1X M2) п), (4.2.2)
41 где d — некоторая константа того же порядка, что и константы анизотропии ? и ?' (энергия wd, так же как и энергия wa, имеет релятивистское происхождение).
Наличие энергии wd может приводить к тому, что в отсутствие стороннего магнитного поля магнитные моменты подрешеток в состоянии равновесия не будут ориентированы точно противоположно друг другу, т. е. антиферромагнетик при H^ = 0 будет обладать отличным от нуля суммарным магнитным моментом. Этот момент будет однако мал, так так энергия wd имеет не обменное, а релятивистское происхождение. На этом основании антиферромагнетики с константой d, отличной от нуля, называют антиферромагнетиками со слабым ферромагнетизмом [16] (подробнее об условиях появления малого магнитного момента в антиферромагнетиках см. [17]).
Сложив энергии Wm, We, Wsl и Wh, найдем полную макроскопическую энергию антиферромагнетика:
U^ = J dr ! + {Н(ту _ (ЛІ1 + м2) нф },
где
с і (ия ия ал* і 1 I дМг <Ш, . дМ2 дМ2 \ ,
F = ZiM1M2, Mu + +
. , дМ, дМ2 і .. п „.
и интегрирование производится по всему пространству. ГЛАВА II
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
§ б. Уравнение движения магнитного момента и уравнение переноса тепла в ферромагнетиках
1. Уравнение движения магнитного момента. Сильная корреляция между ориентациями спинов отдельных атомов в магнитоупорядоченных кристаллах приводит к существованию в таких кристаллах специфических волн.
Чтобы понять их происхождение, рассмотрим сначала ферромагнетики и будем предполагать, что T = O. В этом случае все магнитные моменты атомов ферромагнетика имеют одинаковую ориентацию, соответствующую минимуму его энергии. Представим себе теперь, что мы изменили ориентацию магнитного момента какого-либо одного атома и предоставили затем атом самому себе. Тогда это изменение ориентации не останется локализованным в исходном атоме, а благодаря обменному взаимодействию будет переходить от атома к атому, т. е. будет распространяться в виде волны. Такие волны носят название спиновых волн*). Они могут распространяться как при 7 = 0, так и при Тф0, как в ферромагнетиках, так и в антиферромагнетиках и характеризуются определенными зависимостями частоты от волнового вектора.
Спиновые волны можно рассматривать как колебания плотности магнитного момента, распространяющиеся в маг-нитоупорядоченном кристалле. Поэтому для их исследования необходимо иметь уравнение, определяющее изменение плотности магнитного момента со временем.
*) Они были открыты Б лохом [1].
43 Чтобы установить это уравнение, напомним сначала простейшую задачу о движении «жесткого» магнитного момента?/! во внешнем магнитном поле Н. Такой момент прецессирует вокруг направления поля H согласно уравнению
m = g(mXH). (5.1.1)
где g=-j±.
Рассмотрим теперь ферромагнетик. Благодаря сильному обменному взаимодействию между спинами отдельных агомов ферромагнетика его магнитный момент с большой степенью точности является «жестким», если только температура ферромагнетика достаточно низка. Иными словами, модуль вектора плотности магнитного момента ферромагнетика лишь в очень слабой степени может зависеть от времени. Поэтому изменение со временем плотности магнитного момента должно в первом приближении носить характер прецессии, т. е. происходить по закону
дМт ° =SiM (г, t) Xfi (г. 0). (5.1.2)
где H (г, t) — некоторый вектор, который мы будем называть эффективным магнитным полем. По смыслу уравнения (5.1.2) этот вектор можно определить только с точностью до произвольного вектора, параллельного вектору M (г, t).
Прежде чем переходить к определению эффективного магнитного поля И, разъясним, что означает уравнение движения магнитного момента ферромагнетика (5.1.2), или, как мы будем его называть, уравнение прецессии, с точки зрения квантовой механики [2].
Точное квантовомеханическое уравнение движения для оператора плотности магнитного момента ферромагнетика M (г, t) имеет, как известно, вид
М], . (5.1.3)
где SfB—гамильтониан ферромагнетика и [А, В\ = AB — BA — коммутатор операторов А и В.
Чтобы найти коммутатор [зЖ\ Л1], удобно представить гамильтониан <J%? в следующем общем виде:
ж [м{г, 0} = S J йГі йГі- ¦ -drAi2 ••• 'я(ГьГ2.....г«)х
X Mli (Гь 0 Mi3 (Г 2, t) ... Min (Г п, 0. где f I1I2 ... іп(Г\, /*2, ..., г„)- некоторые функции коорди-
44 нат, симметричные относительно любой перестановки переменных ikrk и Ifl (эти функции могут содержать также o-функции от разностей координат и их производные).
Коммутатор M1 (г, ^)] равен, очевидно,
\т, Mi (Г, /)] = J J drIdr? ¦ ¦ ¦ drnflxl2 ... In (ГU г......rn) X
П
П
XS Ml^ri, t) ... Mltt^(т_ь пх
/г=і
X[Mik{rk, t), Mt(r, t)\Mik+i(rk+x, t) ... MiJrn, t).
Замечая, что согласно (1.3.4) [Mik (rk, t), Mi (г, Щ = 2і/гij.Mj (г, t)b{r-rk), перепишем уравнение движения для M в виде
Il k=1
XfilI2... 1п(гг...../¦*_!, г, rk+l.....г п) Ml^r X,t) . . .
...Mik_y,{rk^,t)Mj{r, t)Mik+i(rk+ut) ... MiJrri, t)eil;ij.
(5.1.4)
Перейдем к макроскопическому описанию ферромагнетика. Для этого необходимо усреднить уравнение (5.1.4) при помощи матрицы плотности ферромагнетика. При таком усреднении оператора M (г, t) мы получим локальную величину — плотность макроскопического магнитного момента Mt(r, і).
