Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если рассматривать достаточно медленные изменения макроскопического магнитного момента, характеризующиеся временами, которые значительно больше времени установления локального квазиравновесия в ферромагнетике, то в левой части равенства (5.1.4) мы получим производную по времени от плотности макроскопического магнитного момента. Справа мы должны усреднять произведения операторов плотностей моментов в разных точках пространства. Ферромагнетик отличается тем свойством, что в нем благодаря сильному обменному взаимодействию очень быстро устанавливается локальное квазиравновесное распределение магнитного момента. Поэтому с большой степенью точности усреднение произведения операторов плотностей моментов дает произведение
45 локальных макроскопических плотностей момента, являющихся уже, разумеется, с-числами. Таким образом, в результате усреднения (5.1.4) мы получим соотношение, имеющее туже структуру, что и исходное соотношение, в котором, однако, не нужно различать порядка множителей Mii (Г\Л), МІ2 (r2,t)...
Функции ZiiI2... I^ после усреднения (при помощи матрицы плотности) также претерпят изменение и станут, вообще говоря, зависеть от температуры. Эти модифицированные функции (мы будем по-прежнему обозначать их через /г,<2... /л)
определяют макроскопическую энергию ферромагнетика
W = Yt\dri ...(IrlJii...,Jr1.....г„)Х
XMi^rlJ) ... Min(r,„t).
Возвращаясь к формуле (5.1.4), в которой величины Mt(r, t) представляют собой с-числа, мы можем переписать ее в виде уравнения прецессии
дМ , ж, ^ ,
-^=PXff).
где вектор H определяется формулой
Hj = У^п J Cir2 . . . ClrnZji I2.....In (г> Г2, .... ra) X
XMi2(r2, t) ... MlJrf,, t).
Эта формула показывает, что вектор Н, т. е. эффективное магнитное поле, представляет собой функциональную производную от энергии ферромагнетика W по магнитному моменту M (г, t) [3]:
Формула (5.1.5) показывает также, что вариация энергии связана с вариацией плотности магнитного момента 6Л1(г, t) соотношением:
№ = — J H(r, t)bM(r, t)dr. (5.1.6)
2. Поток и диссипация энергии. Уравнение движения магнитного момента, которое мы установили в предыдущем разделе, не учитывает диссипации энергии. Микроскопическая теория процессов, приводящих к диссипации энергии,
45 будет изложена в главе VII, здесь же мы покажем, как феноменологически описать эти процессы.
Введем для этого в правую часть уравнения движения магнитного момента (5.1.2) добавочное слагаемое R:
= (5.2.1)
и будем предполагать, что вектор R (он называется релаксационным членом) перпендикулярен вектору JHXW и является линейной функцией эффективного магнитного поля
Ri=^rikHk, /?(МХЯ) = 0, (5.2.2)
где гlk — некоторый тензор, зависящий, вообще говоря, от М.
Свойства тензора rlk, так же как и вид эффективного магнитного поля, могут быть, как мы сейчас убедимся, установлены из закона сохранения энергии [4].
При феноменологическом описании мы будем исходить из следующего выражения для энергии ферромагнетика:
Г = J drw,
«-'(A«.
dxk ) 1 8л v ' ' 8л
V- , і г дМ:
где г — некоторая функция от M1 И --Г-1-, которую можно
OXji
рассматривать как потенциальную энергию единицы объема ферромагнетика.
Дифференцируя плотность энергии по времени и используя уравнение движения магнитного момента (5.2.1), а также уравнения Максвелла
, и(т) 4л . . 1 OD .. D<m) п
rot H ' = — J-A---зт- , div By ' = О,
cJ1 с at
1 дВ(т)
rot E =--^--5?-' div D = O,
с dt
где == Him)-f- 4лМ и j = аЕ (а — проводимость ферромагнетика), получим
дМі (j_Am) I „(є) dF , д OF \
- її і ~\-П(,і---1--------
dt — dt "» дМ,
oE?
dxk J
д ( с /WIsm) ^ , ,А і дМі dF
^l-sr^x^+^-Sp. (МЛ)
д
дхь
47 Если сначала пренебречь диссипацией энергии, т. е. считать а = О, R = О, то изменение плотности энергии со временем должно сводиться к пространственной дивергенции плотности потока энергии П:
dw , дЩ _ 0 dt dxk
Поэтому первое слагаемое в (5.2.3) должно обращаться в нуль.
Учитывая уравнение прецессии (5.1.2), отсюда можно
дМ[
заключить, что множитель при--^i- должен с точностью
до произвольного слагаемого, пропорционального М, совпадать с эффективным магнитным полем Hi. Опуская это несущественное слагаемое, получим следующее выражение для эффективного магнитного поля:
н = Hw +J--Йг-, (5.2.4)
дМ dxk , дМ v ' д -
дхк
где H^ = Н(,т)Ное)¦ (Это выражение Н, как будет показано далее, находится в соответствии с формулой (5.1.5).) Второе слагаемое в (5.2.3) показывает, что [4]
IIft = ^ (? X -^-Sr- (5.2.5)
dxk
Учтем теперь диссипацию энергии. Тогда уравнение (5.2.3) примет вид
dw . дПь ~ дМ
". = — оЕ2 — H
dt 1 dxk dt
14 с \ і ті па _
dt
Используя уравнение (5.2.1) для и выражение (5.2.2)
для R, отсюда получим
+ dwU = -oE2-TikHiHk. (5.2.6)
Мы видим, что диссипация энергии определяется симметричной частью тензора rik. Поскольку правая часть равенства (5.2.6) должна быть всегда отрицательной, то тензор rik должен быть таким, чтобы форма TikXiXk была существенно положительной. В дальнейшем мы будем пользоваться следующим простейшим выражением для гik.
