Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если бы мы имели дело с изотропным пространством,
а не с решеткой и спин атомов равнялся бы s ~ ^ . то такой
модифицированный гамильтониан спин-орбитального взаимодействия должен был бы иметь следующий вид:
4-(2?)2 (3.1 -2)
где / (Rik) и р (Rik) — некоторые функции расстояний между узлами решетки. Первая из этих сумм не отличается по своей
32 структуре от гамильтониана обменного взаимодействия, поэтому она может быть отнесена к этому гамильтониану и здесь может не рассматриваться.
Вторая сумма имеет ту же структуру, что гамильтониан магнитного дипольного взаимодействия. Различие заключается в том, что в эту сумму (ее иногда называют гамильтонианом псевдодипольного взаимодействия) входит быстро спадающая с увеличением расстояний между атомами функция ? (Rik), тогда как в гамильтониан дипольного взаимодействия, являющегося длиннодействующим, входит медленно меняющаяся _2
функция Rui .
В кристаллической решетке ситуация осложняется из-за неэквивалентности различных направлений. Благодаря этому скалярная функция $ (Rik) заменяется некоторым тензором второго ранга ? (Rlk) и гамильтониан спин-орбитального взаимодействия приобретает вид
Переходя здесь от спинов к плотности магнитного момента, получим следующее выражение для макроскопической энергии спин-орбитального взаимодействия:
Wsl = \\dr\ (Г - Ґ) Мі {Г) М* (Ґ)' (3'1'3)
Так как функция ?/ft(r — г') быстро уменьшается с увеличением расстояния \г — -г'\ между атомами, то функцию М(г') можно разложить в ряд по степеням г—г' и сохранить в этом разложении только первый член. В результате мы получим
Wsl = J wa(M)dr, (3.1.4)
V
где
wa (M) = ^ikMiMk
и
Pift= I hk(r)dr.
Сравнение этого выражения для Wsl с выражением для энергии магнитного дипольного взаимодействия Wm показывает, что два слагаемых под знаком интеграла в (2.1.11) имеют ту же структуру, что и Wa(M). Поэтому можно
3 А. И. Ахиезер 33 отнести эти слагаемые к wa(M) и понимать под энергией магнитного дипольного взаимодействия величину
При выводе формулы для Wsl мы предполагали, что
S = Y1 В общем случае при s Ф -І- она, строго говоря, не
справедлива и о Wa(M) можно только сказать, что эта величина представляет собой некоторую функцию плотности магнитного момента, причем в отличие от плотности обменной энергии, не зависящей от направления вектора намагничения, плотность энергии спин-орбитального взаимодействия зависит от направления этого вектора относительно кристаллографических осей.
2. Плотность энергии магнитной анизотропии. При
достаточно низких температурах (Т <^ Tc) модуль вектора M представляет собой практически, как мы уже говорили, некоторую постоянную величину и Wa(M) можно рассматривать только как функцию направления М. Эту функцию обычно называют плотностью энергии магнитной анизотропии.
При феноменологическом описании ферромагнетика функцию Wa(M) обычно представляют в виде разложения в ряд по степеням компонент M и сохраняют в нем несколько первых членов [8—10]. В это разложение должны, очевидно, входить только такие комбинации произведений компонент вектора М, которые являются инвариантами относительно элементов симметрии кристалла. В числе элементов симметрии содержится, очевидно, также и преобразование обращения времени (t—> — t), при котором компоненты TH меняют свой знак; поэтому разложение Wa(M) должно содержать только четные степени компонент М.
Рассмотрим, например, одноосный ферромагнетик. Если ограничиться в разложении Wa(M) членами второго порядка по степеням компонент М, то мы получим
где 0 — угол между вектором M и осью симметрии кристалла п и ?— некоторая константа, называемая константой анизотропии. Эта константа является, вообще говоря, функцией температуры.
(3.1.5)
Wa(M) = ^MtsmH — (3.2.1)
34 Если ? > 0, то минимум энергии анизотропии достигается при 6 = 0, т. е. энергия анизотропии будет минимальна при намагничении вдоль оси симметрии (ось z), которая является, как говорят, направлением легкого намагничения. Если ? < 0,
то энергия анизотропии достигает минимума при 6 = ~,
т. е. при намагничении, лежащем в плоскости ху, перпендикулярной оси z. Для определения направления легкого намагничения приведенного выражения для Wa(M) недостаточно и необходим учет дальнейших членов разложения wa (M) по степеням компонент М.
Если кристалл относится к тетрагональной симметрии, то анизотропия в базисной плоскости (плоскости ху) определяется инвариантом MxM2y. При гексагональной симметрии кристалла анизотропия в базисной плоскости (плоскости ху) проявляется лишь в членах 6-го порядка относительно компонент M и определяется инвариантом
Если кристалл обладает кубической симметрией, то первыми неисчезающими членами в разложении энергии магнитной анизотропии по степеням компонент M будут члены 4-го порядка. Кубическая симметрия допускает два инварианта 4-го порядка, составленных из компонент вектора М:
M2xMl + M2xMl + M2yMl M4x + M4y + M4z.
Второй инвариант не является, однако, независимым, так как он равен- M4 — 2 [MixM1y-Y MxM2 + M2yMl). Поэтому энергия магнитной анизотропии кубического ферромагнетика, учитывающая только члены 4-го порядка относительно компонент М, имеет вид
