Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
получающиеся при разложении величины S?j, так и матричных
элементов Vnm(0f; f0), описывающих перенос возбуждения от
молекулы п к молекуле т... Если ограничиться той частью HeL,
которая возникает из линейных по смещениям молекул из
равновесных положений членов разложения величины 3р то
оператор HeL можно представить в следующем виде:
H,l= 2 2C(f. +*-.,)• <4-23)
qmi ts ^
Ради простоты мы пренебрегли в (4,23) зависимостью
"констант" связи , (f, s) от q. Заметим, что именно эта часть
полного оператора HeL отлична от нуля в случае бесконечно узких
экситонных зон.
Матричные элементы оператора (4,23), фигурирующие в правой
части выражения (4,22), имеют в рассматриваемом случае вид
(k; ^ii/w |кЛ.)=2\кг_к/;^а s)(v-^4*v^> <4'24>
Процедура вычисления каждого члена ряда (4,22) хорошо известна
(см., например, [5]). Так как усреднение в (4,22) производится
по состояниям "свободных" фононов, среднее от произведения
матричных элементов
Av {(кц | V (tt) | kjHj) (kjHi | V (t2) | к2ц2) . . . | V
(tm) | k|/)}
отлично от нуля лишь для четных т и равно сумме произведений
средних от всевозможных комбинаций попарно спаренных
операторов (ki[ii | V (t) | kjiij). При этом
Av =
= 6f. -!'""' [(Wi,4- 1)Г<^5(<,~?*) + ЛГ1/",*('1'"'!|)], (4,25)
где
Nts = [exp (bUis/kT) - I]-1.
Фурье-компоненте каждого члена получающегося бесконечного
ряда теории возмущений можно сопоставить определенную
диаграмму Фейнмана. Принцип построения диаграмм Фейнмана в
рассматриваемом случае можно сформулировать в виде следующих
пяти правил.
ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
1) Искомой функции G^' (к, со) сопоставляется "жирная"
сплошная линия со стрелкой, направленной слева направо (рис.
12, а). Началу этой линии сопоставляются величины со, к, а
концу со, k, ц'.
е)
Рис. 12.
2) Каждой "тонкой" сплошной линии со стрелкой, направленной
слева направо и снабженной индексами со,-, кг, сопоставляется
"нулевая" функция Грина (б на том же рисунке)
== ~2jTЩ - ?ц^(к) * <4'26>
По индексам |лг внутренних экситонных линий производится сумми-
рование.
3) Каждая диаграмма, отвечающая т - 21-му порядку теории
возмущений, содержит т "вершин", изображаемых точками, в
которые всегда входит и выходит только по одной экситонной
линии.
4) В каждую вершину либо входит, либо выходит из нее "фо-
нонная" линия, изображаемая пунктирной линией. Каждой фононной
линии сопоставляются индексы f^, по которым производится
суммирование. Фононной линии, направленной слева направо,
ставится в соответствие фактор (Л^.-|-1), а справа налево -
фактор
5) В каждой вершине выполняется закон сохранения энергии и
волнового вектора; эти величины учитываются со знаком плюс
(минус),
если линия (сплошная или пунктирная) входит (выходит) в данную
вершину. Вершине сопоставляется множитель 2лр<0) (fs), где |я.
-
v-rj 1
индекс экситонной линии, входящей в вершину, a jx;- -
выходящей, если фононная линия выходигиз вершины, и множитель
2лр(0>, (-fs) = = 2nf№\ (fs), если последняя входит в нее.
V-iV-j
Пользуясь сформулированными правилами, легко написать выра-
жение, соответствующее любой диаграмме ряда теории возмущений.
Например, сумме двух диаграмм в (см. рис. 12) (диаграммы
отличается лишь направлением фононных линий) соответствует
ТЕОРИЯ ФОРМЫ ЛИНИЙ ЗК.СИТОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
161
следующее выражение:
О(ц0> (к, м) S (2л)2 pW (b) pW, (- Ь) [От (к - f, со - <ofj) (N
ts -+ 1) + + GW (к - f, со -f <ofi) Nu] GW (к, со) =
sGjfOi, со) 2лМ$1' (к, со) Gjv (к, со). (4,27)
При написании этого выражения мы во втором слагаемом, стоящем
в квадратной скобке, сделали замену f на -f, полагая, что со^
= со_и. Диаграммам г, д соответствуют выражения
В выражении (4,29) знаку плюс перед f (f = fj или f = f2)
следует сопоставлять в фигурных скобках множитель A^fS + 1, а
знаку минус - множитель Mfs.
Бесконечный ряд диаграмм можно представить в форме уравнения
Дайсона, которое связывает функцию 0^ (к, со) с вершинной
частью Рцц', определяемой следующей совокупностью диаграмм:
Уравнение Дайсона (графически оно изображено на рис. 14)
имеет в рассматриваемом случае следующий вид:
-V (к. "о - 2 2 с, да Р(tm).' <- "> X
X [^ц,ц2 (к- f, со - oiii) (NfS -j- 1) + (r)nin:(k - f. wtOfj)
(4,31)
г) О^0)(к, "о)22лЛС,(к, м)0[1°|)(к, со) 2кМ(^' (к, со) G(°) (к,
со); (4,28)
^ (ш ~' Ец,(к т fi т *2)+ "v, + "V, +ie)(ш - Ец3(к ^ f2) ^ +
г'е) '
¦f Н ; Г 7 + •"
/
' ^ I '
Г- -
/
Рис. 13.
Оцц-(к, со) = (к, oj) + G(tl0)(k, со) 2 2лЖ№ (к, со) G^, (к, со),
Hi
(4,30)
где
11 В. М. Агранович
162 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
Тензор /Wwt- (к, со) принято называть "массовым" оператором.
Суммирование бесконечной совокупности диаграмм, которой пред-
ставлена выше функция (к, со), проведено лишь в отдельных
Рис. 14.
частных случаях. Ниже мы рассмотрим два предельных случая:
слабой и сильной связи экситонов с фононами.
