Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИЯ ФОРМЫ ЛИНИЙ ЭКСИТОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
153
решения уравнения Френеля, определяющие коэффициент
преломления нормальных электромагнитных волн в среде
(поляритонов), при любых вещественных ш становятся
комплексными: п = п-\-Ы. Это обстоятельство в кристаллооптике
известно давно, и мы здесь о нем упомянули лишь для того,
чтобы не создавалось такого впечатления, будто зависимость
y(w)-эт0 и есть форма линии поглощения. Только при достаточно
слабом поглощении соотношение между величинами у (о) и к (а)
таково, что приближенно я (со) = А\ (со), где А-множитель, не
зависящий от со.
Действительно, допустим, что рассматривается такая область
частот, где при отсутствии затухания волн коэффициент
преломления п является вещественным *). Пусть в этой области
частот ef((к) = йсог (к)- энергия поляритона I с волновым
вектором к. Поскольку ^,(к) является аналитической функцией к,
то малые изменения и к связаны соотношением
Если же из-за процессов рассеяния 6<^г = Ifry (со, к), то из
(4,1) следует, что при 6k = /?"s (здесь к = к/ + /к")
В изотропной среде вектор групповой скорости коллинеарен век-
тору s. Поэтому здесь
В случае изотропной среды соотношение (4,2а) можно
установить и иным путем. В такой среде для поперечных волн
При наличии затухания со -> со-f-ly, k-так что в первом
приближении по у и k"
*) То есть речь не идет, например, о такой области частот,
где имеет место полное отражение света и где п = i | п | даже
при отсутствии процессов рассеяния.
(4,1)
где
(4,2)
(4,2а)
k2c2 = (со) • со2.
(4,3)
2k'k'c2 = у-2-[г± (со) со2].
(4,4)
154 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
В то же время, дифференцируя (4,3) по со при отсутствии
затухания, находим
(4-б>
Сравнивая (4,5) и (4,4), получаем связь
кп = У И rfco '
что, очевидно, совпадает с (4,2а) *).
Из вывода соотношения (4,2) следует, что оно может быть
использовано лишь в таких областях частот, где затухание очень
слабо и не влияет практически на зависимость вещественной
части показателя преломления от и. Затухание поляритонов может
считаться столь слабым либо при малых силах осциллятора
экситонного перехода, когда основной вклад в дисперсию волн в
рассматриваемой области частот вносят другие резонансы, либо
же на краю интенсивных полос поглощения в той области частот,
где | со - со0|^>у(и). В частности, соотношение (4,2) применимо
в области длинноволнового края экситонных полос поглощения,
где оно и было использовано в работе [4]. Ясно, что если
зависимость у (со) от со является более сильной, чем анало-
гичная зависимость для групповой скорости, то приближенно
можно считать k" = Ay(cо), где А ~ const. В общем же случае
для нахождения величины k" следует использовать уравнение
Френеля.
Наиболее последовательная теория зависимости у (со) развита
в работах Тоядзавы [8-10]. Хотя в этих работах в качестве
состояний нулевого приближения использовались не поляритоны, а
кулоновские экситоны и поперечные фотоны, так что эффект
длинноволнового края,
о котором говорилось выше, не был рассмотрен, Тоядзава на
основе общего выражения для Y((r)) сумел проанализировать случай
слабой и сильной экситон-фононной связи. Результаты этих работ
в настоящее время широко используются при анализе формы
экситонных линий поглощения и отражают современное состояние
теории в этой области. Поэтому ниже остановимся на них более
подробно **).
Будем исходить из полного гамильтониана системы "экситоны
плюс фотоны плюс фононы":
H = Re^Hp + ftep^HL+HeL, (4,6)
где Не - гамильтониан экситонной подсистемы, Нр - оператор
энергии поперечных фотонов в пустоте, Нер - оператор
взаимодействия
*) Отметим, что в работах Тоядзавы [8] в соотношении вида
(4,2) вместо групповой фигурирует фазовая скорость, что вносит
неточность в определение величины k .
**) Используемый ниже формализм эквивалентен формализму
Тоядзавы.
ТЕОРИЯ ФОРМЫ ЛИНИИ ЭКСИТОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
155
поперечных фотонов с экситонами *), НL - оператор энергии
колебания
решетки при отсутствии экситонов, HeL - оператор энергии
экситон- фононного взаимодействия.
Оператор Нер учтем лишь в первом порядке теории возмущений.
При таком подходе в представлении вторичного квантования
состояниям нулевого приближения отвечают волновые функции
| • • • tlkj ^qii • • • " • • • Nfs . . . },
где {"к;}. {Kqii} и {A/'fj}-совокупности чисел заполнения
фотонов, экситонов и фононов соответственно. Здесь к, /-
волновой вектор и индекс, определяющий поляризацию фотона
(/=1, 2), q и f - волновые векторы экситона и фонона, |i-номер
экситонной зоны, 5 - номер ветви колебания решетки. Процессу
поглощения фотона, который сопровождается рождением экситона,
отвечает переход типа
j Iky! Oqu! . . . Nfs . . . } -> I 0kj\ 1 q(l; . . . Nfs . . .
),
где обозначает совокупность чисел заполнения фононов в конеч
ном состоянии.
Вероятность такого процесса в единицу времени в первом
