Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
причем эта зависимость является, вообще говоря, значительно
более сильной, чем температурная зависимость величин Гр(к).
Проблема затухания световых волн в кристаллах более подробно
обсуждается в § 4. Здесь же комплексные величины Гр (к) будем
считать известными. Подставляя (2,2) в первое слагаемое
формулы (1,26), находим
-1 {[Ёт (г, t), Ёп(г'. *')]> 9 (*-*') =
= -Т 2 К m (к) 4, " (к) в1 fkR-"p (к) t] -
Р, к
- 5р, т (к) Sp, " (к) r'ikR-"p(k) Я} е (т),
(2,3)
где
Таким образом,
+оо
Dmn{со, k) = j dx J т) =
- СО
Г *^p, m (к) *Sp, n (k) ^p, m ( k) <SPi n (• k)
I
h I to - шр (k) -)- (6 (r) + (r)p (к) + й J '
P'
(2.4)
144 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
При получении этого выражения было использовано соотношение
1
( eiaxdx= lim elax~6x dx - t lim -r-¦
J e->+o J 6->+o " + гб
где величина 6 определяет направление обхода полюса.
Формула (2,4) выражает Dmn(со, к) через величины Sp(к) и
efp(k), которые были найдены в гл. III, и, следовательно,
позволяет с помощью (1,27) найти тензор ег;-(со, к).
Рассмотрим, ради иллюстрации, более подробно случай
изотропной среды с центром инверсии, причем не будем принимать
во внимание поглощение. В этом случае величины Sp(k), ^р(к)
вещественны и не зависят от направления к, так что
Dmn "o.k)-IS2Sp' " юр (k) + 4я6т"- (2,5)
й р и - ир (к)
В изотропной среде нормальные волны р либо продольны, либо
поперечны. Поэтому произведение Sp1, т (к) Sp, "(к) в такой
среде всегда равно нулю. Следовательно [см. также (2,27) гл.
III],
V( v 25P,m(k)5P,*(kH(k) ,
Dmn((о, k) =
Р-Рц
+ 2
25 i т (к) S;f _ (к) (c)п (к) ]
Р' 2 ' -- + 4я6тп. (2.6)
Р-Р± (r)-"р(к) j
Поскольку векторы SjJ (к) и к коллинеарны, имеет место
следующее соотношение:
Si т (к) S$, д (к) = I sl (к) I2. (2,7)
В противоположность зонам продольных волн, которые не вы-
рождены, каждая зона поперечных волн является дважды
вырожденной, так что ветви частот сор (к) соответствуют два
вектора Sp(a, к),
а=1, 2. Эти векторы могут быть выбраны взаимно ортогональными.
При этом они оказываются также равными по длине. Поэтому
2 Sp1; т (a, k) Sjj; " (а, к) = | (к) |2 Tim/i,
(2,8)
а-1, 2
где тензор г\тп определен соотношением (1,22а). Подставляя
теперь
(2,7) и (2,8) в (2,6) и используя тождество [см. (1,22а)]
6
^тп ?2 I *тп*
5 3] "ПОПЕРЕЧНЫЙ" ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 145
находим
где
Dmn{со, к) = я (со, к)-^§^- + 6 (со, k)t|mn, (2,9)
К 2 | S,] (к) I2 со (к) а (со, к) = 4л + х 1 0 1 с
b(w, к) = 4л+-г ^
h ^ со'- со (к)
Р-Рц р
к v 21 SP I2 СЙР W
(2,10)
h , , ш - со; (к)
p-p_L (a-l!
ft k
Поскольку, благодаря ортогональности тензоров -и Лтл' D^(CO,
к): 1 kmk" ' 1 -
а (со, к) k2 1 b (а, к) hnn' искомый тензор етя(<в, к) [см.
(1,27)] определяется следующим образом: . , п / c2k2 . 4я
\ ,4л ктк" ...
тп С(r)' к) - + Ь (со к) ) 11шл 4- а (а ку -^2- • (2-П)
Дальнейшее упрощение этого выражения для гтп (со, к) может быть
достигнуто, если пренебречь пространственной дисперсией, т. е.
в (2,11) устремить к к нулю при фиксированном значении со. При
этом c2k2lсо2 ->¦ 0. Кроме того, можно показать, что в этом
предельном случае выполняется соотношение
а (со, 0) = 6(со, 0), (2,12)
так что
етл(и, 0) = е(со)6тл,
где
_1_ = 1 о--(-] V 2ISP W1Ч<°> : (со) 4я \ ^ /' " со2
- со2 (0)
(2,13)
Этой формулой величина 1 /е(со) представлена в виде разложения
по полюсам, которые отвечают частотам продольных волн.
Следовательно, при со = Шр^(0) величина е(со), как и следовало
ожидать, обращается
в нуль в соответствии с феноменологической теорией [см.
уравнение (4.16а) гл. III].
§ 3. Комплексный поперечный тензор диэлектрической
проницаемости и дисперсия электромагнитных волн в кристалле
Как уже указывалось в § 4 гл. III (см. также [2]), при
исследовании дисперсии и поглощения света в кристаллах в
одинаковой мере успешно могут быть использованы как тензор &tj
(со, к), так и тензор е±, ч (со, к).
10 В. М. Агранович
146 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
Если тензор s/;(a>, к) в каком-либо приближении известен, то
тензор е_]_, /у (to, к) также можно найти с помощью
соотношения (4,18) гл. III (см. также [2], § 2), выражающего
тензор bj_, /у (со, к) через компоненты тензора е/;-(со, к). В
то же время тензор bj_, к) можно найти и более прямым путем,
если в каком-либо приближении могут считаться известными
экситонные состояния кристалла при полном учете кулоновского
взаимодействия.
Поскольку соответствующий вывод выражения для ej_, k)
приведен в монографии [2], а также в статьях [3], мы здесь
остановимся лишь на основных его моментах. Применяемая при
этом полу- классическая процедура хорошо известна и состоит в
квантовомеханическом определении плотности тока,
индуцированного внешним классическим электромагнитным полем.
Так как в этом расчете в качестве состояний нулевого прибли-
жения используются состояния, отвечающие полному учету
