Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
кулоновского взаимодействия (кулоновские экситоны), то роль
внешнего возмущающего поля играет лишь поперечная часть
макроскопического
поля в среде, т. е. E^(r, f) = - > где Мг. 0 ~ векторный
потенциал поперечного поля. Обозначим через и Еп волновые
функции и энергии нулевого приближения, а через Wn - ?>ЧГЛ-
соответствующие функции при учете поля E L. Оператор взаимодей-
ствия зарядов с внешним полем в линейном приближении равен
^+А(г"' (зл)
а
где га - радиус-вектор a-й частицы с зарядом еа и массой та,
знак
2 обозначает суммирование по всем частицам кристалла и
а
Оператор U определяет не все возмущение состояний Ч-^, а
лишь ту его часть, которая явно зависит от времени.
Состояния Ч-^ фактически являются лишь приближенными реше-
ниями уравнения Шредингера для кристалла, поскольку всегда в
действительности имеется такое взаимодействие (например,
взаимодействие экситонов с колебаниями решетки *)), оператор
которого, хотя явно от времени не зависит, приводит к
переходам между указанными приближенными состояниями системы
даже при отсутствии внешнего возмущения. Такие переходы делают
конечным время жизни возбужденных состояний кристалла, так что
при исследовании отклика системы
*) Если осуществляется случай сильной экситон-фононной
связи, то часть экситон-фононного взаимодействия надо учесть
уже при определении состояний т. е. уже в нулевом приближении
теории (см. § 7 гл. I).
§ 3] "ПОПЕРЕЧНЫЙ" ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 147
на внешнее возмущение с частотой, близкой к частоте резонанса,
учет этих переходов становится обязательным. Однако сначала не
зависящее от времени возмущение не будем принимать во
внимание. Полагая
А (г, t) = - ^ [E0e!'(kr_"^- Е0в-^кг_ш<)],
находим
0 = Fe~ia>t + 6еш, F (к) = б+ (к) = - ~ М (к) Е0,
*00 = - Sif? (3""Л'" + ел'"1"). <3,2)
а
Используя теперь теорию возмущений, в первом приближении полу-
чаем (см. [7], § 40)
v. = va- V { + ,4^) }ч,~='г..+№..(а.З)
тфп
где
Fmn = (УтоРУ"о), Ьфт" = Ет - Еп == Ь ((0т - (?>"). (3,4)
Среднее значение плотности тока в состоянии Wn равно
]{п\г, t)= J 'PJtr, t)Wndx, (3,5)
где
ЧГТ /> ( Г Л д
6 (г - ra)-f
a u L
+ 6(r - r")r d
Lb - - A (ra, t)
dta с
(3,6)
В линейном по полю приближении фурье-компонента плотности тока
j\n) (со, k) = bjf) (со, к) = aW t. (со, k)fj-(к, со),
(3,7)
где aj_, /у - тензор электропроводности. Искомый тензор ,;-(со,
к) связан с тензором Oj_, ,;-(со, к) соотношением
е?> .. (со, к) = Ьи + / о<">.. (а>. к). (3,8)
Поэтому (более подробно см. [2]) выражение для ;_,-((c), к)
имеет следующий вид:
4пс2 у, | jWo, кц (- к)^кц,о(к) ^кц,о(- к)М0, кц(к) 1. /0
щ'К Zi\ h(c> - Ец (-¦ к) йсо+?"(к) ) (d'yJ
и
В выражении (3,9) Е^ (к) = й?^ (к) означает энергию
кулоновского
10*
148 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
экситона с волновым вектором к в ц-й зоне,
Мо, Ап (к) = (4*0, М (k)vtrk|X),
где - волновая функция экситона (kjj.); V - объем кристалла.
Если не принимать во внимание пространственную дисперсию, то
в (3,9) следует положить к = 0. При этом в силу (3,2)*)
McW(s)==/^|^ УТТ Pj(0n; 0), (3,10)
где Р (0|i; 0) - матричный элемент оператора дипольного
момента элементарной ячейки кристалла, N - число элементарных
ячеек в основном объеме кристалла, s = к/k. Величины Р (0|i;
0) отличны от нуля только для таких экситонных зон (1,
волновые функции которых при к = 0 преобразуются так же, как
компоненты полярного вектора (дипольно-разрешенные экситонные
состояния). Следовательно, только такие экситонные зоны вносят
вклад в тензор е_^; /Д(r), 0), который определяется соотношением
о" = I! --g- Vi) 6"¦-Д, У,
\ <?> V * тп j vha2 и-й (s)
\ а а/ ц ^
где v-объем элементарной ячейки. Используя теперь правило сумм
(2,12) гл. III, окончательно получаем
-Л * Sit v (s) (0; 0ц) Р; (Он; 0) ^ ( ^
еь /;(со, s)-6u vb2j a2-tf(s) • <3'П)
J.I М-
Покажем теперь, что тензор (3,11) приводит к закону
дисперсии нормальных волн точно такому, какой был получен в
гл. III в рамках микротеории экситонов при учете
запаздывающего взаимодействия.
Действительно, для нормальных электромагнитных волн коэффи-
циент преломления я (со, s) удовлетворяет уравнению (4,20) гл.
III. Легко убедиться, используя (3,11), в том, что
фигурирующие в этом уравнении компоненты тензора е^_, п, 22 и
ej_, 12 в системе координат, где ось z направлена вдоль
вектора к, определяются следующими соотношениями:
Е_1, ар(ш, s) = 6а13 -
8я Y (s) (1аР (0; 0|1)) (Р (0ц; 0) 1р)
vh ^ ш2-Qf (s)
Здесь 1а (а= 1, 2)- единичные ортогональные друг другу орты в
плоскости, перпендикулярной вектору к. Поэтому, разрешая
уравнение (4,20) гл. III, легко убедиться в том, что корни
этого уравнения, т. е. величины п1<2(со, s), определяются
соотношениями (2,13) гл. III,
*) В соотношении (3,10) принято во внимание (см. гл. I), что
энергия кулоновского экситона при к -> 0 является функцией s =
к/к. То же, вообще говоря, относится и к величине Р (0ц; 0).
