Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
(* + "-1)' /4 2Л
(» -1) !*! • I1-ziJ 18
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
r. е. числу перестановок из к + п — 1 элементов (к частиц и п — 1 перегородок), деленному на произведение числа перестановок между собой к частиц и числа перестановок между собой п — 1 перегородок.
а) Число благоприятных событий распределения частиц по одпой в к определенных ячейках равно ровно 1, так как перестановки частиц между собой новых распределений не дают. Поэтому искомая вероятность
D _ ("-*) (1.22)
(А + п — 1) 1
б) Число благоприятных событий распределения частиц по одной в каких-то & ячейках равно Cn, следовательно, искомая вероятность
P — ПІ (п — 1) I по\
И - (k + n-i)l(n-k)l ' W-40'
3) В статистике Линден-Белла частицы могут располагаться не более одной в ячейке. Но онн принципиально различимы. Поэтому число всех равновозможных событий равно
T^WT- (1-24)
Число благоприятных событий в задаче а) равно к\. Поэтому искомая вероятность
P= *'(»-*)» . (1.25)
Число благоприятных событий в задаче б) равно (1.24) — числу равновозможных событий. Искомая вероятность
P = 1, (1.26)
что естественно, так как при любом распределении в статистике Линден-Белла выполняется требование задачи б).
4) В статистике Ферии — Дирака, в отличие от статистики Линден-Белла, частицы принципально не различимы. Поэтому число всех равновозможных событий § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
19
равно Cn. Число благоприятных событий в задаче а) равно 1, а искомая вероятность
P= *!(я~*)! . (1.27)
Число благоприятных случаев в задаче б) равно Сп* а искомая вероятность
P = I. (1.28)
Таким образом, статистики Линден-Белла и Ферми — Дирака приводят к одинаковым вероятностям распределения.
З а д а ч а 5. к частиц случайным образом распределяются в к ячейках, кип — любые (целые положительные) числа.
а) Найти вероятность того, что в первой ячейке окажется A1 частиц, во второй ячейке кг частиц и т. д., в ге-й ячейке — кп частиц. При этом, очевидно, должно выполняться
п
2 = fc.
1=1
Некоторые ki могут равняться нулю.
б) Найти вероятность, что в какой то ячейке будр г кл частиц, в какой-то — Aa частиц и т. д., в какой-то - кл частиц.
Задача 5 является обобщением задачи 4.
Решение. Очевидно, что для всех четырех статистик число всех равновозможных случаев будет таким же, как и в задаче 4.
1) В статистике Больцмана число благоприятных событий в задаче а) получим, выбрав некоторое благоприятное распределение и производя затем перестановки частиц. Каждая перестановка будет давать новое распределение, за исключением случаев, когда будут переставляться частицы, находящиеся внутри одной и той же ячейки. Поэтому число благоприятных событий равно
к\
кШ...к\ '
(1.29) 20
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
а искомая вероятность
P = -R—--. (1.30)
Лі!А-о». .. A-n! V '
Чтобы получить число благоприятных событий в задаче б), необходимо помножить число благоприятных событий в задаче а) на число возможных различных перестановок чисел A1, A2, . . ., An среди п ячеек. Если бы все эти числа были различны между собой, то число таких перестановок равнялось бы п\. Однако если среди этих чисел имеются одинаковые, то их перестановки между собой не дают новых распределений. Поэтому число благоприятных распределений в задаче б) равно произведению (1.29) на
ИІ (1.31)
(1 !)'¦ (2!)'*... (s!)'4
где q і — число случаев кратности і среди чисел A1, A2, . . ., An. Здесь также должно выполняться условие
S
S = п-
i=l
Искомая вероятность равна
P-*UU--(1.32)
п AriIAr3!... кп1 (!!)«• (2!)"'... (s!)7«
2) В статистике Бозе — Эйнштейна число благоприятных событий в задаче а) равно 1, так как частицы принципиально неразличимы и их перестановки новых распределений не дают. Искомая вероятность определяется формулой (1.22).
В задаче б) число благоприятных событий дается выражением (1.31), представляющим число различных перестановок количеств A1, A1, . . ., An. Следовательно, искомая вероятность
р =_ПІ (п—1) »Art__(1 33)
(I!)®1 (2!)«'... («!)4« (к + п -1)! § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 21
3) и 4). В статистиках Линден-Белла и Ферми — Дирака в каждой ячейке не может быть больше одной частицы. Поэтому если не выполняется хотя бы одно из условий
Ач <1, A2 < 1..... кп <1, (1.34)
то искомая вероятность равна нулю. Если же все условия (1.34) выполняются, то задача 5 переходит в задачу 4.
Задача 6. Имеется п Ь т последовательно расположенных на оси Ox ячеек, в которых случайным образом, по одной в ячейке, располагаются п положительно заряженных и т. отрицательно заряженных частиц (п > т). Положительные и отрицательные заряды частиц одинаковы по величине. Найти вероятность такого распределения, при котором суммарный заряд частиц, находящихся слева от любой точки оси Ох, неотрицателен.
Решение. Так как в каждой ячейке может расположиться только одна частица, то задача должна решаться в статистике Линден-Белла или статистике Ферми — Дирака. В задаче 4 было показано, что эти статистики приводят к одним и тем же вероятностям распределений. В данной задаче, как легко видеть, и число равновозможных событий и число благоприятных событий в статистике Линден-Белла равно соответствующим числам событий в статистике Ферми — Дирака, помноженным на п\т\. Это подтверждает совпадение вероятностей распределений в обеих статистиках. Будем решать задачу в статистике Ферми — Дирака, т. е. будем считать, что положительно заряженные частицы между собой неразличимы, и то же верно для отрицательно заряженных частиц.
