Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) Согласно теореме сложения (1.56)
P (Л+ 20 =-J-+ =
Задача 13. Из двух перетасованных совместно колод извлекаются две карты. Определить вероятность того, что 1) обе карты масти пик, 2) хотя бы одна карта масти пик.
Решение. 1) В этой задаче, в отличие от предыдущей, появление карты масти пик при извлечении первой карты изменяет вероятность появления карты масти пик при извлечении второй карты, поэтому нужно применять равенство (1.60):
P(AB) =-L. = Ji-.
2) Согласно теореме сложения (1.56)
+ ==4 + 4--JL= 1?..
Задача 14. Найти вероятность выпадения хотя бы раз двух шестерок при 24 бросаниях пары игральных костей («задача шевалье де Мере»).
2* 36
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Решение. Вероятность выпадения двух шестерок при одном бросании равна 1/36. Вероятность, что это событие не случится ни разу при 24 бросаниях, равна
(!-ж)2^0'5086"
Следовательно, вероятность, что две шестерки выпадут хотя бы один раз
P =^l - 0,5086 = 0,4914.
Задача 15. А — событие: правильное предсказание погоды первым лицом. В — то же — вторым лицом, P (Л) = Pu P (В) = р2. Первое лицо предсказало хорошую погоду, а второе — плохую. Какова вероятность наступления хорошей (плохой) погоды.
Решение. Будем считать, что вероятность второму лицу правильно предсказать погоду не зависит от того, правильно ли ее предсказал первый. Так как предсказания погоды двумя лицами разошлись, то случилось событие A B -}- -T-S- Вероятность его
P (АІЗ + .ТВ) = P (AB) + P (ЛВ) = P (A)P (В) +
+ P (Л)Р (В) = P1 (1 - P2) + (1 - Рі)Рг.
Хорошая погода будет, если случилось событие AB. Следовательно, вероятность наступления хорошей погоды равна
_P' (1 — Pi)
/'1(1-/?) H-(I-Pc)^
З а д а ч а 16. В игре покер каждому играющему сдается пять карт. Различают различные комбинации из пяти карт. Эти комбинации в порядке убывания их значения следующие А: пять карт последовательных значений одной масти, начиная от туза; В: пять карт последовательных значений одной масти, начиная не от туза; С: четыре карты одинаковых значений и пятая произвольная карта; D: три карты одинаковых значений и две карты одинаковых значений; E: пять карт не последовательных значений одной масти; F: пять карт последовательных значений, но произвольных мастей; G: три карты 1 8] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
37
одинаковых значений и две неодинаковых значений; H: две пары карт одинаковых значений и одна произвольная; I: одна пара карт одинаковых значений и три неравных значений; J: случай, когда сочетание карт не является ни одной из девяти перечисленных комбинаций.
Найти вероятность каждой из комбинаций. (Разумность последовательности комбинаций должна состоять в том, что с уменьшением значения комбинации ее вероятность должна возрастать.)
Решение. Общее число всех равновозможных сочетаний карт у одного игрока равно С\г. Для комбинации А имеется всего четыре благоприятных случая, поэтому ее вероятность
P(A)= 4 / Cf2 ==5 0,000001539.
У комбинации В 32 благоприятных случая, поэтому P (В) = 32 / CU 0,00001231.
Найдем вероятность при последовательном извлечении карт из колоды извлечения сначала четырех одинаковых, а затем произвольной карты. Первая карта может быть любой. Вероятность, что вторая будет того же значения, что и первая, равна 3/51. Если это событие произошло, то вероятность, что и третья карта будет того же значения, равна 2/50. Вероятность того, что и четвертая карта будет того же значения, равна 1/49. Пятая карта произвольная из оставшихся. Поэтому вероятность данной последовательности карт согласно теореме умножения вероятностей равна
•і JL _L і
г' 51 ' 50 ' 49
Могут быть пять различных последовательностей (произвольная карта на любом из пяти мест), при которых четыре карты окажутся одинаковых значений, а пятая карта иная. Все эти пять последовательностей имеют одинаковую вероятность, и они несовместимы. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей
P(C) = I- -1-.15-.-^.1.5^ 0,0002401. 38
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Рассуждая, как в предыдущем случае, найдем вероятность одной последовательности, дающей комбинацию/?:
І JL JL iL JL
1' 51 ' 50 • 49 ' 48 • Число различных последовательностей, дающих событие D, равно С?. Поэтому
^) = 1-^-^.^.1^0,001441.
Число равновозможных случаев, когда все пять карт одной масти, равно Cf3 >4. Это событие подразделяется на частные случаи — события At В и E. Поэтому
P(E) = 4 • CsJCl2 -P(A)-P (В) S5 0,001967.
Число равновозможных случаев пяти карт последовательных значений равно 9 -46. Это событие подразделяется на частные случаи — события А, В и F. Поэтому
P (F) = 9-A4 Csi2-P(A)-P (В) 0,003701.
Вероятности комбинаций Gt Н, I определяются способом, использованным для комбинаций С и D:
pW = I- TT-W-Ж'Ж-^0^'
P(H)= 1 • ЗГ • ж ¦ 49"' Ж • 2! 2! 1! s0'09292'
^') = ^1^ Ж-Ж-Ж-^0,4226.
Вероятность комбинации J получается вычитанием из 1 суммы вероятностей всех предыдущих комбинаций:
P(J)t5 1 - 0,5439 = 0,4561.
Таким образом, действительно, с уменьшением значений комбинаций их вероятность возрастает.
