Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятностью события называется объективно существующая величина, около которой группируются относительные частоты этого события. Таково статистическое определение понятия вероятности.
Как легко уяснить, по значениям относительных частот можно получить лишь приближенное значение вероятности. Поэтому формально математик скажет, что статистическое определение понятия вероятности нельзя считать определением. Однако в некоторых физических и астрономических задачах число выполняемых испытаний так велико, что опыт может дать значение вероятности события с весьма высокой точностью. Например, для распада Ra226, где число учтенных испытаний огромно— равно числу атомов в испытуемом образце (т. е. порядка IO23-IO24),— опыт может дать значение вероятности события с весьма высокой точностью. Можно утверждать, что с точностью до пятой цифры после запятой вероятность распада атома радия за 100 лет равна 0,04184. Существенно то, что ограничение точности указания значения вероятности пятой цифрой после запятой связано не с тем, что в опыте с радием относительная частота отклоняется от вероятности события. Это отклонение заведомо на много порядков меньше, чем ошибки измерений в выполненном опыте.
Можно утверждать, что наблюдаемая относительная частота распада атомов радия (в пределах ошибок измерения) равна вероятности распада атома. Этот пример показывает, что для астронома и физика статистическое определение понятия вероятности является содержательным определением. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
29
Можно сказать, что вероятностью события является предел, к которому стремится относительная частота появления события при неограниченном увеличении числа испытаний.
При статистической оценке вероятности события необходимо, чтобы соблюдалось точное воспроизводство комплекса условий, т. е. чтобы условия испытаний не менялись. Если условия испытаний меняются, то в общем случае меняется и вероятность появления события. Если, например, вероятность выдачи конвейером бракованной детали определяется при помощи определений относительной частоты бракованных изделий на протяжении ряда лет, то нужно иметь в виду, что, несмотря на кажущееся точное воспроизводство комплекса условий, оно на самом деле не будет точным, так как отдельные части конвейера с течением времени изнашиваются, условия обработки детали изменяются. В этом случае относительная частота события не будет изменяться устойчиво, так как вероятность события — появление бракованной детали — будет изменяться со временем.
§ 7. Условная вероятность.
Зависимые и независимые события
Пусть при выполнении некоторого комплекса условий могут произойти случайные события А и В. Их вероятности соответственно равны P (А) и P (В). Допустим, стало известно, что при выполнении данного комплекса условий событие А произошло. Относительно события В данных не получено. Однако теперь, после получения информации о совершепии события А, вероятность события В может стать другой, отличной от P (В). Если, например, при бросании игральной кости вероятность появления единицы равна Ve, то после того как стало известно, что выпало нечетное число, вероятность того, что выпала единица, возросла до V8.
Вероятность события В при условии, что событие А произошло, будем обозначать P (В\А).
Если знание, что событие А произошло, не изменяет вероятности события В,
Р(В\А) = P(B),
(1.38) зо
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
то событие В называют независимым от события А. Например, события {извлечение из колоды карты масти треф} и {извлечение валета} являются независимыми событиями. Информация, что извлечен валет, не меняет вероятности появления трефы; она остается равной 1U. Точно так же не изменяется вероятность, равная 1I13, что извлеченная карта — валет, когда стало известно, что карта трефовая.
І Ісзависимость событий является свойством взаимным, т. е. если справедливо (1.38), то выполняется и равенство
Р(А\В) = Р(А). (1.39)
Это свойство будет доказано в следующем параграфе.
Если же
Р(А\В)фР(А), P(B\A)J=P(B),
то события А и В называются зависимыми.
Полная система событий Л (будем обозначать так для краткости всю систему событий)
A1, A2.....An (1.40)
и полная система событий S3
B1, B2, ...,Bk (1.41)
называются взаимно независимыми, если справедливы равенства
P(BiIAi) = P(Bi) (1.42)
для любых і и /. В этом случае справедливы, очевидно, и равенства
P(A^Bi) = P(Al). (1.43)
Если хотя бы для какой-нибудь пары значений і и / равенство (1.42) не выполняется, то полные системы событий (1.40) и (1.41) являются взаимно зависимыми системами событий.
Система событий, составленная из всех попарных произведений событий системы А на события системы S3,
A1B1, A1B2.....AnBkt (1.44)
является полной системой событий, так как ее события несовместимы и при выполнении комплекса условий од- 1 8] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
32
IIO из событий системы (1.44) должно произойти. Эту полную систему событий будем обозначать Л33. Отметим также, что
P (B1 \At) + P (В, I Ai) + . . . + P (BkI A1) = 1 (1.45) при любом значении і.
