Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Пусть А и В — события, которые могут происходить при выполнении некоторого комплекса условий. Рассмотрим также события
AB, AB, AB, AB. (1.46)
Согласны принятым в § 2 обозначениям, первое из этих событий состоит в том, что произошли оба события, А и В; второе состоит в том, что событие А произошло, а событие В не произошло и т. д.
События (1.46) составляют полную систему событий, так как они несовместимы и при выполнении комплекса условий одно из них обязательно произойдет.
Теперь допустим, что удалось рассмотреть полную систему п равновозможных событий такую, что каждое из событий (1.46) равно объединению некоторых событий системы, причем событию AB благоприятны Ii1 событий, событию AB — я2 событий и т. д. Поскольку (1.46) составляет полную систему событий, т. е.
AB +AB +AB +AB = U, (1.47)
то
Ii + п2 + п3 + nt = п. (1.48)
Соответствующие вероятности рассмотренных событий равны
P(AB) (1.49)
P(AB) = -Z-, (1.50)
Л (.4 Я)™, (1.51)
Р(.ТЛ)=™. (1.52) 32
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
В дайной полной системе п равновозможных событий событию А благоприятны гI1 + п2 равновозможных событий (так как А произойдет, если произойдет AB или А Б), а событию В благоприятны Ai1 + «з равновозможных событий. Следовательно,
P(A)= (1.53)
P(B)= !E±J1L. (1.54)
Рассмотрим событие А + В, состоящее в том, что случится хотя бы одно из событий А и В. Ему благоприятны ni + я2 + nz равновозможных событий и, следовательно,
Р(А + В)= "1 + пп' + я> . (1.55)
Сравнивая (1.52), (1.53), (1.54) и (1.55), находим
P (А +В) = P(A) +P(B)-P (AB). (1.56)
Равенство (1.56) выражает теорему сложения вероятно стей.
В частном случае, если события А и В несовместимы, P (AB) = 0, (1.56) принимает вид
P (А +В) = P (A) +P(B). (1.57)
Справедливо и обратное утверждение: если выполняется (1.57), то события А и В несовместимы.
Найдем вероятность P (А | В). Если известно, что произошло событие В, значит, произошло одно из Al1 + /I3 равновозможных событий. Следовательно, число всех равновозможных событий теперь уже равно At1 -J- п3. Из них событию А благоприятны aI1 событий. Поэтому
pWV=ItTZ- (I-58)
Аналогично,
(1-59)
Сравнивая (1.49), (1.53) и (1.59), получим
P (AB) = P (A)P (В I А).
(1.60) 1 8] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 33
Равенство (1.60) выражает теорему умножения вероятностей.
В частном случае, если событие В не зависит от собы-ия А,
Р(В\А) = P(B), (1.61)
равенство (1.60) принимает вид
P(AB) = P(A) P(B). (1.62)
Аналогично, сравнивая (1.49), (1.54) и (1.58), можно написать
P (AB) = P (B)P (А I В). (1.63)
Сравнение (1.59) и (1.62) дает равенство
P (A) P (В \ A) = P (В) P (А I В), (1.64)
которое показывает, что из равенства (1.62) следует
Р(А\В) = P(A), (1.65)
т. е. независимость событий есть свойство взаимное, как это уже утверждалось без доказательства в предыдущем параграфе.
Итак, если события А ти В независимы, теорема умножения вероятностей принимает вид (1.62). Справедливо и обратное заключение, играющее в дальнейшем важную роль: если выполняется равенство (1.62), то события А ж В взаимно независимы.
Теорему умножения вероятностей (1.59) легко распространить на случай, когда число событий больше двух. Например, для трех событий
P (ABC) = P (AB) P (С I AB) =
= P (Л) Р(В \ A) P (С I AB). (1.66)
Методом индукции находим общую формулу для п событий:
P (AlAt. . .An) = P (A1)P (A2 I AJP (A9 | A1At) . . .
. . . P (4n I A1At. . . Ап.г). (1.67)
2 Т. А. Агекпн 34
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Для я независимых событий эта формула упрощается:
п п
Wru;)=nm). (1.68)
Распространим и теорему сложения (1.56) на случай числа событий, большего двух. Для трех событий находим
P (А +В + С) =
= P (А +В) +P(C)- Р[(А + В)С]. (1.69)
Вследствие выполнения распределительного закона (1.5) после простых преобразований находим
P (А +В + С) =
= P(A) +P(B) + P(C)-- P (AB) - P (ВС) - P (CA) + P (ABC). (1.70)
Применяя метод индукции, можно установить теорему сложения вероятностей для п событий:
P (A1 +A2 +. . . +An) =
= IP(A1) +P(A2) + ... +P(An)]-- IP(A1A2) + P (A1A3) +...+P (An^1An)] + + [P(A1AiA3) +P(A1A2A1) +... +P (An-^1A „)] + ...
. . . + (_i)«-i р (A1A2 . . . An). (1.71)
Часто при больших п вместо равенства (1.71) удобнее использовать равенство
п п
(1-72)
справедливость которого очевидна и которое в случае взаимной независимости событий AltJi2, . . ., An (тогда взаимно независимы и события ЖиА2.....An) принимает вид
п п
WS Ai) = I-Л P(Л,). (1.73) § 8І ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 35
Если же события A1, A2, • • ¦, An несовместимы, то теорема сложения вероятностей (1.71) принимает простейший вид
п п
WS ^i) =S P(Ai)- (1-74)
Задача 12. Из двух колод вынимается наугад по карте. Определить вероятность того, что: 1) обе карты окажутся масти пик, 2) хотя бы одна из карт окажется масти пик.
Решение. 1) Очевидно, что извлечение карты масти пик из одной колоды (А) не влияет на вероятность извлечения карты масти пик из другой колоды (В), поэтому согласно теореме умножения вероятностей в форме (1.62)
