Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что на плоскости хОу (рис. 2) ячейки расположены в точках абсцисс с координатами 1,2,... ...,» + т. Рассмотрим некоторое расположение частиц. Будем суммировать слева направо заряды частиц (с учетом их знаков) и откладывать в каждой точке ординату, численно равную накопившейся сумме единпц заряда. Соединим после этого соседние вершины ординат прямолинейными отрезками, а также начало координат с вершиной соседней ординаты. Получившуюся ломаную назовем траекторией. Очевидно, что в точке п + т траектория 22 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ trji. 1
должна прийти к ординате п — т. Одна из возможных траекторий на рис. 2 изображена сплошной линией.
В статистике Ферми — Дирака каждому распределению частиц взаимно однозначно соответствует некоторая траектория. Общее число равновозможных событий (различных траекторий) равно — числу различных размещений п подъемов, соот-1 ветствующих положительно заряженным частицам, среди п + т подъемен и спусков.
Благоприятным собы-X тиям соответствуют траектории, которые ни в одной точке не спускаются ниже оси абсцисс, так как это означало бы, что суммарный заряд слева от следующей ячейки оказался отрицательным.
Сосчитаем общее число неблагоприятных событий — число траекторий, хотя бы в одной точке достигающих прямой у = — 1 или пересекающих ее; такой неблагоприятной траекторией является, например, одна из изображенных на рис. 2 сплошной линией. Для этого каждой неблагоприятной траектории сопоставим некоторую фиктивную траекторию, построенную по следующему правилу: до первого соприкосновения с прямой у = — 1 фиктивная траектория совпадает с неблагоприятной траекторией, а от точки соприкосновения фиктивная траектория является зеркальным отражением неблагоприятной траектории относительно прямой у = —1. На рис. 2 фиктивная траектория от точки соприкосновения с прямой у = —1 изображена пунктиром. Легко видеть, что фиктивная траектория, начинаясь в точке (0,0), всегда заканчивается в точке (п г т, —п + тп — 2) ив ией будет m — 1 подъемов и п + 1 спусков. Также легко видеть, что любой (фиктивной) траектории, заканчивающейся в точке (п + тп, —п + m — 2), взаимно однозначно соответствует реальная неблагоприятная траектория. Поэтому нужно сосчитать число всех таких (фиктивных) § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 23
траекторий. Каждая из них содержит /t } 1 спусков среди общего числа га + т подъемов и спусков. Поэтому число фиктивных траекторий равно Число реальных бла-
гоприятных траекторий, следовательно, равно CJltm — — Cntm1 а искомая вероятность
г" _r'ni I .
П _ 0MtItt 0IHrn _ П -t - I — III
Задача 7. В зрительном зале га мест. Билеты нумерованы и все проданы. Зрители садятся на места случайным образом. Найти вероятность того, что ни один зритель не сядет на свое место.
Решение. Общее число всех равновозможных распределений зрителей равно га!. Искомая вероятность равна
p(n) = JM., (!.35)
где S (га) — число благоприятных событий, т. е. таких событий, когда ни один зритель не сидит на своем месте.
Для нахождения S (га) применим метод индукции. Допустим, что п увеличилось на единицу. Каждый раз как зрители на га местах расположились благоприятным образом, можно, меняя поочередно местами одного из этих зрителей со зрителем, купившим билет на (га + 1)-е место, получать благоприятное распределение на га + 1 местах. Таким образом, можно получить nS (га) благоприятных распределений на га + 1 местах. Кроме того, в тех случаях, когда на га местах га — 1 зрителей сидят не на своих местах, а один на своем месте, перестановка местами последнего с (га + 1)-м зрителем также будет давать благоприятное распределение на га + 1 местах. Число таких распределений равно nS (га — 1). Итак,
S (га + 1) = nS (га) + raS (га — 1). Используя (1.35), получим
(га + 1)! P (га + 1) = га-га!Р(га) + га (га - 1)!Р(га - 1), 24
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
откуда, после сокращения на и! и некоторых преобразований, следует
Р(» + 1)-Р(я) ____1_ ой\
Р(п)—Р(п — 1) — и + 1 • ^-00J
Решение функционального уравнения (1.36) легко угадывается:
Р(п) = с 2
п к
к=0
Произвольная постоянная с определяется из очевидного
условия P (2) = -J-, которое дает с = І.Итак, вероятность
того, что ни один зритель не окажется на своем месте, равна
Р(п)= 2 "Цт"- (1-37)
к=о
При п -* оо эта вероятность стремится к Не.
Задача 8. Пневматическое ружье вследствие неисправности случайно выстреливает при заряжении. Какова вероятность поражения круглой мишени радиусом 10 см, находящейся на расстоянии 10 м, если все направления полета пули равновероятны?
Решение. Метод, применяемый для решения подобных задач, называется геометрическим. Всех равно-возможных направлений полета пули бесконечное множество. Бесконечно также число всех благоприятных направлений. Однако отношение числа благоприятных событий к числу всех равновозможных событий можно найти, считая, что это отношение равно отношению телесного угла мишени, который приблизительно равен
»(tjS-)'—W*"*
к полному телесному углу 4л. Искомая вероятность
