Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 17. Из многолетних наблюдений известна статистическая вероятность того, что в районе обсерватории ночь будет ясной. В феврале она равна P (А) = 0,18, в марте P (В) = 0,24 и в апреле P (С) = 0,36. Наблюдатель будет иметь в своем распоряжении телескоп в ночь с 5-го на 6-е и с 20-го на 21-е каждого из этих месяцев. Найти вероятность того, что программа наблюдений 1 8] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 39
будет выполнена, если для ее выполнения требуется: 1) одна ясная ночь, 2) две ясные ночи.
Решение. Так как представленные астроному ночи наблюдений отделены друг от друга значительным периодом — 15 дней, можно считать, что вероятность следующей ночи быть ясной не вависит от того, была ли ясной предыдущая ночь наблюдений. Рассматриваемые события взаимно независимы.
1) Удобно использовать равенство (1.73); искомая вероятность равна
1 - (0,82)» (0,76)* (0,64)* ^ 0,84.
2) И в этом случае искомую вероятность удобнее сосчитать, вычтя из единицы вероятность того, что ни одна ночь не будет ясной, и вероятность того, что только одна ночь будет ясной:
P = 1-0,16-2-0,18-0,82.(0,76)*-(0,64)» -- 2-(0,82)»-0,24-0,76-(0,64)» -
- 2 • (0,82)» • (0,76)» >0,36 • 0,64 ^ 0,49.
З а д а ч а 18. В некоторой местности вероятность того, что погода в данный день будет такой же, как и в предыдущий, равна р, если день был дождливый, и q, если день был не дождливый. Вероятность того, что первый день года дождливый, равна P1. Найти вероятность того, что /г-й день дождливый, и найти предел рп при я -*- оо.
Решение. Событие, состоящее в том, что (я — 1)-й день дождливый и я-й день также дождливый, имеет вероятность Pn-rf. Вероятность события, состоящего в том, что (я — 1)-й день не дождливый, а я-й — дождливый, равна (1 — /?„-і)(1 — q). Событие {я-й день дождливый} состоится, если произойдет одно из этих двух несовместимых событий. Следовательно,
Pn == Pn-lP +(1 — Pn-l)(l — Я) =
= Рп-г(Р + Ч - 1) + (1 - д). Применяя эту рекуррентную формулу я — 1 раз, получим
Pn = (Р + q - I)"-1 Pi + [1 + (р + q - 1) +
+ (р +д-1)г + . • • Mp + J-Ir1Hl -д), (1.75) что и дает решение задачи. 40
СЛУЧАЙНОЕ СОВЫТНЕ
[ГЛ. I
Так как | р + q — 1 | < 1, то прн л -*¦ оо первый член правой часта (1.75) стремится к нулю, а сумма геометрической прогрессии в квадратных скобках стремится
к • Таким обраом, при п-*-оо
1 -я
Рп' ' 2-p — q •
Задача 19. Рассмотренную в § 5 эадачу 7 решить прн помощи теоремы сложения вероятностей.
Решение. Обозначим A1, At, . . ., An события, состоящие в том, что, соответственно, первый, второй, . . . ..., л-й зрители оказались на свонх местах. Вычислим прн помощи формулы (1.72) вероятность P (.4!+ At+ . . . . .. + Лп) того, что хотя бы один зритель окажется на своем месте. Очевидно,
Pw=4-'
P(AiAj)- Ч(Я!_і) •
P (AiAiAk) = д(д_1,)(п_2) ,
Поэтому величина в т-х квадратных скобках (с учетом ее знака) в правой части (1.71) равна
' л! m}(n — m)l ~~v ; т\ *
Следовательно,
Я (21 ^)-2(-4^.
M=I ' 111=1
н искомая вероятность
= 1- 2(-1)-'^= 2! (-»г-^r- ТЕОРЕМЫ СЛОЖВННЯ И УМНОЖЕНИЯ
41
З а д а ч а 20. В условна задачи 7 найти вероятность того, что ровно т зрителей (т ^ я) будут сидеть на своих местах.
Решение. Вероятность того, что определенные т зрителей будут сидеть на своих местах, равна
(я — т)\ п\ '
Вероятность того, что остальные я — т врителей при этой окажутся сидящими не на своих местах, согласно задаче 7 равна
п—т
ZJ •
к=о
По теореме умножения вероятность того, что определенные т зрителей окажутся на своих местах, а остальные врители — не на своих местах, равна
п—т
(п-т)\ V, (-If
S (1.76)
в! ft!
Jc=O
Но из п зрителей определенные т зрителей могут быть выбраны Cn различными способами. Как бы ни были выбраны эти т зрителей, вероятность того, что они окажутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, определяется выражением (1.76). Все эти случаи несовместимы. Поэтому вероятность того, что какие-то т врителей окажутся на своих местах, а остальные п — т врителей — не на своих местах, равна, согласно теореме сложения вероятностей, проивведению (1.76) И С
ft—m .
P = J- У (-1*
ml ZJ ft! ' k=o
Задача 21. Вероятность распада радиоактивного атома ва время dt равна Xdt. Вероятность распада атома не вависит от того, как долго атом уже существует, не распадаясь. Поэтому X не вависит от времени. Какова вероятность распада атома за время t? Найти вависимость между коэффициентом X и временем полураспада Т. 42
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Решение. Вероятность того, что атом не распадается за время dt, равна
1 - Xdt, (1.77)
В промежутке времени t промежуток времени dt содержится dldt раз. Вероятность того, что за время t атом не распадается, равна, согласно теореме умножения, произведению t/dt множителей (1.77):
(1 - Xdtyidl. (1.78)
Считая dt бесконечно малым, получим из (1.78) после предельного перехода erxt. Искомая вероятность, таким образом, равна
P = 1 _ «гЧ (1.79)
Если вероятность того, что атом не распадется sa время Т, равна ровно 1/2, то T называется временем полураспада атома. Приравнивая (1.79) числу 1/2, находим
