Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 12

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 71 >> Следующая


Задача 17. Из многолетних наблюдений известна статистическая вероятность того, что в районе обсерватории ночь будет ясной. В феврале она равна P (А) = 0,18, в марте P (В) = 0,24 и в апреле P (С) = 0,36. Наблюдатель будет иметь в своем распоряжении телескоп в ночь с 5-го на 6-е и с 20-го на 21-е каждого из этих месяцев. Найти вероятность того, что программа наблюдений 1 8] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 39

будет выполнена, если для ее выполнения требуется: 1) одна ясная ночь, 2) две ясные ночи.

Решение. Так как представленные астроному ночи наблюдений отделены друг от друга значительным периодом — 15 дней, можно считать, что вероятность следующей ночи быть ясной не вависит от того, была ли ясной предыдущая ночь наблюдений. Рассматриваемые события взаимно независимы.

1) Удобно использовать равенство (1.73); искомая вероятность равна

1 - (0,82)» (0,76)* (0,64)* ^ 0,84.

2) И в этом случае искомую вероятность удобнее сосчитать, вычтя из единицы вероятность того, что ни одна ночь не будет ясной, и вероятность того, что только одна ночь будет ясной:

P = 1-0,16-2-0,18-0,82.(0,76)*-(0,64)» -- 2-(0,82)»-0,24-0,76-(0,64)» -

- 2 • (0,82)» • (0,76)» >0,36 • 0,64 ^ 0,49.

З а д а ч а 18. В некоторой местности вероятность того, что погода в данный день будет такой же, как и в предыдущий, равна р, если день был дождливый, и q, если день был не дождливый. Вероятность того, что первый день года дождливый, равна P1. Найти вероятность того, что /г-й день дождливый, и найти предел рп при я -*- оо.

Решение. Событие, состоящее в том, что (я — 1)-й день дождливый и я-й день также дождливый, имеет вероятность Pn-rf. Вероятность события, состоящего в том, что (я — 1)-й день не дождливый, а я-й — дождливый, равна (1 — /?„-і)(1 — q). Событие {я-й день дождливый} состоится, если произойдет одно из этих двух несовместимых событий. Следовательно,

Pn == Pn-lP +(1 — Pn-l)(l — Я) =

= Рп-г(Р + Ч - 1) + (1 - д). Применяя эту рекуррентную формулу я — 1 раз, получим

Pn = (Р + q - I)"-1 Pi + [1 + (р + q - 1) +

+ (р +д-1)г + . • • Mp + J-Ir1Hl -д), (1.75) что и дает решение задачи. 40

СЛУЧАЙНОЕ СОВЫТНЕ

[ГЛ. I

Так как | р + q — 1 | < 1, то прн л -*¦ оо первый член правой часта (1.75) стремится к нулю, а сумма геометрической прогрессии в квадратных скобках стремится

к • Таким обраом, при п-*-оо

1 -я

Рп' ' 2-p — q •

Задача 19. Рассмотренную в § 5 эадачу 7 решить прн помощи теоремы сложения вероятностей.

Решение. Обозначим A1, At, . . ., An события, состоящие в том, что, соответственно, первый, второй, . . . ..., л-й зрители оказались на свонх местах. Вычислим прн помощи формулы (1.72) вероятность P (.4!+ At+ . . . . .. + Лп) того, что хотя бы один зритель окажется на своем месте. Очевидно,

Pw=4-'

P(AiAj)- Ч(Я!_і) •

P (AiAiAk) = д(д_1,)(п_2) ,

Поэтому величина в т-х квадратных скобках (с учетом ее знака) в правой части (1.71) равна

' л! m}(n — m)l ~~v ; т\ *

Следовательно,

Я (21 ^)-2(-4^.

M=I ' 111=1

н искомая вероятность

= 1- 2(-1)-'^= 2! (-»г-^r- ТЕОРЕМЫ СЛОЖВННЯ И УМНОЖЕНИЯ

41

З а д а ч а 20. В условна задачи 7 найти вероятность того, что ровно т зрителей (т ^ я) будут сидеть на своих местах.

Решение. Вероятность того, что определенные т зрителей будут сидеть на своих местах, равна

(я — т)\ п\ '

Вероятность того, что остальные я — т врителей при этой окажутся сидящими не на своих местах, согласно задаче 7 равна

п—т

ZJ •

к=о

По теореме умножения вероятность того, что определенные т зрителей окажутся на своих местах, а остальные врители — не на своих местах, равна

п—т

(п-т)\ V, (-If

S (1.76)

в! ft!

Jc=O

Но из п зрителей определенные т зрителей могут быть выбраны Cn различными способами. Как бы ни были выбраны эти т зрителей, вероятность того, что они окажутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, определяется выражением (1.76). Все эти случаи несовместимы. Поэтому вероятность того, что какие-то т врителей окажутся на своих местах, а остальные п — т врителей — не на своих местах, равна, согласно теореме сложения вероятностей, проивведению (1.76) И С

ft—m .

P = J- У (-1*

ml ZJ ft! ' k=o

Задача 21. Вероятность распада радиоактивного атома ва время dt равна Xdt. Вероятность распада атома не вависит от того, как долго атом уже существует, не распадаясь. Поэтому X не вависит от времени. Какова вероятность распада атома за время t? Найти вависимость между коэффициентом X и временем полураспада Т. 42

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

trji. 1

Решение. Вероятность того, что атом не распадается за время dt, равна

1 - Xdt, (1.77)

В промежутке времени t промежуток времени dt содержится dldt раз. Вероятность того, что за время t атом не распадается, равна, согласно теореме умножения, произведению t/dt множителей (1.77):

(1 - Xdtyidl. (1.78)

Считая dt бесконечно малым, получим из (1.78) после предельного перехода erxt. Искомая вероятность, таким образом, равна

P = 1 _ «гЧ (1.79)

Если вероятность того, что атом не распадется sa время Т, равна ровно 1/2, то T называется временем полураспада атома. Приравнивая (1.79) числу 1/2, находим
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed