Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
я-IO-1
4л
= 0,000025.
Задача 9. На полупрямой случайно ставятся три точки. Найти вероятность того, что из трех отрезков, рав- § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 25
ных расстояниям этих точек от начала полупрямой, можно составить треугольник.
Решение. При случайном нанесении точек одна из точек всегда будет оказываться не ближе от начала полупрямой, чем две другие точки. Будем каждый раз принимать расстояние этой точки от начала полупрямой
Рис. 3.
Рис. 4.
за единицу расстояния. Тогда расстояния х и у двух других точек от начала полупрямой заключены в промежутке [О, 1].
Рассмотрим плоскость хОу. Общее число равно-возможных событий — значений чисел х и у — соответствует площади квадрата со стороной 1 на рис. 3. Треугольник из полученных трех отрезков можно составить при выполнении условия X + у > 1. Этому неравенству отвечают точки, расположенные в области, которая на рис. 3 заштрихована. Площадь заштрихованной области равна 1/2. Следовательно, искомая вероятность
р~3"
Задача 10. Определить вероятность, что корни квадратного уравнения ж2 + 2ах + 6 = 0 вещественны, если значения коэффициентов а и Ь равновозможны в квадрате |а|<1, |й| < 1.
Решение. Общему числу равновозможных значений коэффициентов а и Ъ соответствует площадь квадрата (рис. 4), равная 4. Корни уравнения вещественны, если 26
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
[ГЛ. «
дискриминант трехчлена неотрицателен, а2 — Ъ > 0. Условию неравенства отвечают точки, расположенные в области между нижней стороной квадрата и параболой b = а2. Площадь этой области, соответствующей числу благоприятных событий, равна
x
Следовательно, искомая вероятность P
8
3-4
Задача 11. В любые моменты промежутка времени T равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если промежуток времени между моментами поступления сигналов меньше т. Определить вероятность того, что приемник будет забит.
Решение. Обозначим через X и у моменты поступления сигналов в приемник. На плоскости хОу (рис. 5) область равновозможных значений X и у представлена квадратом площадью Tt. Область благоприятных значений удовлетворяет условию I а: — у | т. Эта область (заштрихованная на рис. 5) заключена между прямыми
X — у — т и у — X — т.
Площадь области благоприятных значений равна Т* — (Т - т)2. Следовательно, искомая вероятность
Рис. 5.
1
§ Л] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕННА ВЕРОЯТНОСТИ 27
§ 6. Статистическое определение вероятности события
Необходимый для классического определения вероятности анализ — рассмотрение полной системы равно-возможных событий и выделение rex из них, которые благоприятны для рассматриваемого события,— удается провести далеко не всегда. Например, событие, состоящее в том, что определенный атом радия распадается за время, не превосходящее t, пока не поддается исследованию в такой схеме. Поэтому определить вероятность этого события классическим методом нельзя. Также невозможно при номощи теоретического расчета определить вероятность того, что при формировании звезды она окажется двойной или что рожденный ребенок окажется мужского пола.
Существует другой способ оценки вероятности случайного события — оценка при помощи опыта. Допустим, что комплекс условий, при котором может происходить рассматриваемое событие, многократно в точности повторяется сам или может быть многократно в точности воспроизведен. Мы условились в таком случае говорить, что производятся испытания. Если при выполнении H1 испытаний событие А произошло Tn1 раз, то говорят, что относительная частота события А в этой серии испытаний равна Tn1In1. Во второй серии испытаний относительная частота события А равна TnJn1, в третьей — тп3/п3, и т. д.
На основании длительных наблюдений над результатами большого числа различного рода испытаний подмечено, что для широкого круга явлений относительная частота появлений рассматриваемого события в различных сериях испытаний обнаруживает устойчивость. Относительные частоты в сериях испытаний мало отличаются друг от друга. Эти отличия тем меньше, чем больше число испытаний в данных сериях испытаний. Например, относительная частота рождений младенцев мужского пола не отличается заметно от 0,515, если учтено достаточно большое число рождений.
Статистика показывает, что относительная частота рождений мальчиков не зависит от местности или этнического состава населения. Она всегда превышает 28
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
относительную частоту рождений девочек приблизительно на 0,03. .Можно сказать, что относительная частота рождений мальчиков есть величина устойчивая.
Если определять относительную частоту распада атома Ra22® за 100 лет, то всегда будет получаться величина 0,04184. Здесь число испытаний в серии равно числу находящихся под наблюдением атомов радия. Это число в опыте огромно и потому относительная частота распадов в сериях испытаний в высшей степени устойчива, ее изменения незаметны, так как перекрываются ошибками в определении числа всех атомов и числа распавшихся атомов.
