Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
По этой причине все достоверные события (при выполнении данного комплекса условий) являются равносильными, и мы можем все достоверные события обозначать одной и той же буквой (U). Аналогично равносильны все невозможные события (F).
Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А не делает невозможным появление события В, то события А и В называются совместимыми событиями. В противном случае события называются несовместимыми.
При извлечении из колоды одной игральной карты события {появление валета} и {появление дамы} являются несовместимыми событиями. Но события {появление валета} и {появление карты масти треф} — совместимы.
Пусть
A =C1+ Ct + . ..+Cm, (1.11)
т. е. А обозначает событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий C1, C1, . . ., Cm. Если все события Cu Ct, . . ., Cm попарно несовместимы и справедливо равенство (1.11), то говорят, чтобы событие А подразделяется па частные случаи C1, Ci,... 12
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Система несовместимых событий
С і, C2, . . ., Cm (1.12)
называется полной системой событий, когда известно, что при выполнении комплекса условий одно из событий этой системы должно с достоверностью произойти. Для полной системы Си C2, . . ., Cm очевидно равенство
C1 + Ct + . . . + Cm = и. (1.13)
Простейшей полной системой событий является система А, A.
§ 4. Понятие вероятности случайного события
При выполнении соответствующего комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное событие обязательно не произойдет.
Среди тех событий, которые при выполнении комплекса условий могут и произойти и не произойти, Iia появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других — с меньшим. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных (шары отличаются только цветом, и перед извлечением шара урну встряхивают, чтобы шары хорошо перемешались), то рассчитывать при извлечении шара на появление белого шара больше оснований, чем на появление черного. Мы скажем, что вероятность появления белого шара больше вероятности появления черного шара. Таким образом, вероятность события есть величина, определяющая, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление этого события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность события есть объективная величина, существующая независимо от познающего субъекта и определяемая всей совокупностью условий, при которых может произойти событие.
Объяснение, которое мы дали понятию вероятности, не является математическим определением, так как оно не определяет это понятие количественно.
Исчерпывающей математической формулировки понятия вероятности не существует. Однако важное значение имеют два определения этого понятия, являющиеся част- § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
13
ными определениями, применимыми в некоторых определенных условиях. Это так называемые: 1) классическое определение вероятности события и 2) статистическое определение вероятности события.
§ 5. Классическое определение вероятности события
Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равно-возможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, при бросании игральной кости, имеющей правильную форму (куб), все шесть событий появления цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 являются равновозможными событиями.
Условимся посредством P (А) обозначать вероятность события А.
Пусть событие А представляет собой реализацию одного из равновозможных случаев, входящих в состав полной системы равновозможных событий, т. е.
A =C1+ Ci + ...+Cm, (1.14)
U = C1+ Ct + .. . + Cm + Ст+1 + ... +Cn.
(1.15)
События C1, Ct, . . ., Cm мы будем называть благоприятными для события А, так как появление одного из них делает достоверным появление события А. События Cm+1, Cm+j, . . ., Cn неблагоприятны для события А. Появление одного из них делает невозможным появление события А.
Тогда вероятность события А равна отношению числа благоприятных событий к общему числу равновозможных событий, т. е.
P(A) = -^, т^п. (1.16)
Согласно этому определению вероятности события получаем
P(C1) = P(Ct) = ... = P(Cn) = 4-' (1-17) 14
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
т. е. равновозможные события имеют одинаковую вероятность.
Если, например, находящиеся в урне шары отличаются друг от друга только цветом, то при извлечении шаров вслепую появление каждого из шаров следует считать равновозможным. Пусть в урне имеется 5 белых и 3 черных шара. Тогда полная система событий состоит из 8 равновозможных событий, а событие, состоящее в появлении белого шара, подразделяется на 5 таких событий. Поэтому вероятность появлення белого шара
Аналогично, вероятность появления черного шара
так как здесь число благоприятных событий равно 3.
Из определения следует, что наибольшую вероятность имеет достоверное событие,
P (U) = 1,
а наименьшую — невозможное событие,
P (F) = 0.
Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству
