Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 3

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 71 >> Следующая


СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

trji. 1

§ 2. Поле случайных событий

Введем систему обозначений. Пусть А — некоторое событие, которое может произойти при выполнении некоторого комплекса условий. Обозначим

Ж (1.1)

событие, состоящее в том, что при выполнении даннощ комплекса условий событие А не произошло. Ж называется дополнением А. События А и А называются противоположными событиями. Очевидно, что

A - А.

Пусть А и В — события, каждое из которых может случиться при выполнении некоторого комплекса условий. Условимся обозначать

А + В (1.2)

событие, состоящее в том, что произошло хотя Гы одно из событий А и В. Событие (1.2) называется суммой или объединением А ті В. Например, назовем событием А появление валета при извлечении из колоды игральной карты, а событием В — появление карты масти треф. Событие А + В происходит, если извлеченная игральная карта оказалась одним из валетов либо любой картой масти треф, в том числе и трефовым валетом. Аналогично, событие

А + В + С

состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А, В и С. Например, если А есть появление 1 ,В — появление 3, С — появление 5 при бросании игральной кости, то А + В + С есть событие, состоящее в появлении нечетной цифры. Легко убедиться, что справедлив сочетательный закон

(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С. Условимся обозначать

AB

(1.3) ПОЛЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

9

событие, состоящее в том, что при выполнении комплекса условий случилось и событие А и событие В. Событие (1.3) называется произведением или пересечением А и В. В приведенном выше примере с игральными картами событие AB произошло, если извлечен трефовый валет.

Выполняется сочетательный закон (AB)C = A(BC) = ABC. Легко также убедиться в справедливости равенств

А + В — I-B, A + В —~АВ (1.4)

и выполнении распределительного закона

(A + В)С = AC + ВС. (1.5)

В некоторых случаях рассматриваемое событие таково, что при выполнении данного комплекса условий оно не может случиться. Такое событие называется невозможным. Если, например, в урне имеются только белые шары, то извлечение из нее черного шара является невозможным событием. Условимся обозначать невозможное событие буквой V. Легко убедиться в справедливости равенства

AA = V. (1.6)

Если при выполнении некоторого комплекса условий рассматриваемое событие обязательно произойдет, то такое событие называется достоверным. Например, если в урне имеются только белые шары, то при извлечении шара событие, состоящее в том, что он белый, является достоверным событием Условимся обозначать достоверное событие буквой U. Очевидна справедливость равенства

А + Л = U. (1.7)

Нетрудно убедиться в справедливости равенств

O = V, A + U = A, A-U=U, (1.8)

А + V = V, A-V = А. 10

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

trji. 1

Рассмотрим случайные события А и В. Выше было показано, что при помощи операций (1.1) — (1.3), можно ввести в рассмотрение ряд новых событий. Казалось бы, выполняя эти операции многократно, можно ввести в рассмотрение бесчисленное множество событий. Однако, как показывают, например, равенства (1.4) и (1.8), повторное применение рассмотренных операций может приводить к повторению одних и тех же событий.

Совокупность событий называется полем событий, если выполнение операций (1.1) — (1.3) над событиями поля приводит снова к событиям, принадлежащим полю. Наряду с событием А поле событий содержит событие А. Наряду с событиями А, В оно содержит события А + В и AB. Вследствие равенств (1.6) и (1.7) поле событий всегда включает невозможное и достоверное события.

Например, после случайных событий, порожденное случайным событием А, включает

А, Ж, U, V. (1.9)

Равенства (1.6) — (1.8) показывают, что (1.9) действительно является полем случайных событий.

Поле случайных событий, порожденное случайными событиями А и В, состоит из

А, В, Ж, В, А + В, A+B1 Ж + В, Ж +В,

(1.10)

AB, AB, AB, AB, AB + AB, AB -f ЖВ, U, V.

Любая из операций (1.1) — (1.3), выполненная над событиями (1.10), снова приводит к одному из событий (1.10). Например,

ZB = Ж+ В, СAB + Жв) + AB = IW= А + В, (А + В) (Ж + В) = AB + ЖВ.

§ 3. Полная система событий

Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А делает достоверным событие В, то мы будем говорить, что событие В содержит в себе событие А, и обозначать это свойство событий так; A CZ В. ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБЫТИЙ

11

Например, при бросании игральной костп событие, состоящее в появлении 1, делает достоверным событие, состоящее в появлении нечетной цифры, следовательно, событие {появление нечетной цифры} содержит событие {появление 1}.

В общем случае, если А Cl В, обратное утверждение не справедливо, т. е. появление В не делает достоверным А. В приведенном выше примере появление нечетной цифры не делает достоверным появление единицы.

В частном случае могут быть справедливыми как соотношение А Cl В, так и соотношение В С А. В таком случае события А и В называются равносильными, т. е. А = В. Если, например, в урне имеются шары различных диаметров, то событие А, состоящее в извлечении шара наименьшего радиуса, и событие В, состоящее в извлечении шара наименьшего объема, являются равносильными событиями.
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed