Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
§ 2. Поле случайных событий
Введем систему обозначений. Пусть А — некоторое событие, которое может произойти при выполнении некоторого комплекса условий. Обозначим
Ж (1.1)
событие, состоящее в том, что при выполнении даннощ комплекса условий событие А не произошло. Ж называется дополнением А. События А и А называются противоположными событиями. Очевидно, что
A - А.
Пусть А и В — события, каждое из которых может случиться при выполнении некоторого комплекса условий. Условимся обозначать
А + В (1.2)
событие, состоящее в том, что произошло хотя Гы одно из событий А и В. Событие (1.2) называется суммой или объединением А ті В. Например, назовем событием А появление валета при извлечении из колоды игральной карты, а событием В — появление карты масти треф. Событие А + В происходит, если извлеченная игральная карта оказалась одним из валетов либо любой картой масти треф, в том числе и трефовым валетом. Аналогично, событие
А + В + С
состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А, В и С. Например, если А есть появление 1 ,В — появление 3, С — появление 5 при бросании игральной кости, то А + В + С есть событие, состоящее в появлении нечетной цифры. Легко убедиться, что справедлив сочетательный закон
(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С. Условимся обозначать
AB
(1.3) ПОЛЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
9
событие, состоящее в том, что при выполнении комплекса условий случилось и событие А и событие В. Событие (1.3) называется произведением или пересечением А и В. В приведенном выше примере с игральными картами событие AB произошло, если извлечен трефовый валет.
Выполняется сочетательный закон (AB)C = A(BC) = ABC. Легко также убедиться в справедливости равенств
А + В — I-B, A + В —~АВ (1.4)
и выполнении распределительного закона
(A + В)С = AC + ВС. (1.5)
В некоторых случаях рассматриваемое событие таково, что при выполнении данного комплекса условий оно не может случиться. Такое событие называется невозможным. Если, например, в урне имеются только белые шары, то извлечение из нее черного шара является невозможным событием. Условимся обозначать невозможное событие буквой V. Легко убедиться в справедливости равенства
AA = V. (1.6)
Если при выполнении некоторого комплекса условий рассматриваемое событие обязательно произойдет, то такое событие называется достоверным. Например, если в урне имеются только белые шары, то при извлечении шара событие, состоящее в том, что он белый, является достоверным событием Условимся обозначать достоверное событие буквой U. Очевидна справедливость равенства
А + Л = U. (1.7)
Нетрудно убедиться в справедливости равенств
O = V, A + U = A, A-U=U, (1.8)
А + V = V, A-V = А. 10
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Рассмотрим случайные события А и В. Выше было показано, что при помощи операций (1.1) — (1.3), можно ввести в рассмотрение ряд новых событий. Казалось бы, выполняя эти операции многократно, можно ввести в рассмотрение бесчисленное множество событий. Однако, как показывают, например, равенства (1.4) и (1.8), повторное применение рассмотренных операций может приводить к повторению одних и тех же событий.
Совокупность событий называется полем событий, если выполнение операций (1.1) — (1.3) над событиями поля приводит снова к событиям, принадлежащим полю. Наряду с событием А поле событий содержит событие А. Наряду с событиями А, В оно содержит события А + В и AB. Вследствие равенств (1.6) и (1.7) поле событий всегда включает невозможное и достоверное события.
Например, после случайных событий, порожденное случайным событием А, включает
А, Ж, U, V. (1.9)
Равенства (1.6) — (1.8) показывают, что (1.9) действительно является полем случайных событий.
Поле случайных событий, порожденное случайными событиями А и В, состоит из
А, В, Ж, В, А + В, A+B1 Ж + В, Ж +В,
(1.10)
AB, AB, AB, AB, AB + AB, AB -f ЖВ, U, V.
Любая из операций (1.1) — (1.3), выполненная над событиями (1.10), снова приводит к одному из событий (1.10). Например,
ZB = Ж+ В, СAB + Жв) + AB = IW= А + В, (А + В) (Ж + В) = AB + ЖВ.
§ 3. Полная система событий
Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А делает достоверным событие В, то мы будем говорить, что событие В содержит в себе событие А, и обозначать это свойство событий так; A CZ В. ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБЫТИЙ
11
Например, при бросании игральной костп событие, состоящее в появлении 1, делает достоверным событие, состоящее в появлении нечетной цифры, следовательно, событие {появление нечетной цифры} содержит событие {появление 1}.
В общем случае, если А Cl В, обратное утверждение не справедливо, т. е. появление В не делает достоверным А. В приведенном выше примере появление нечетной цифры не делает достоверным появление единицы.
В частном случае могут быть справедливыми как соотношение А Cl В, так и соотношение В С А. В таком случае события А и В называются равносильными, т. е. А = В. Если, например, в урне имеются шары различных диаметров, то событие А, состоящее в извлечении шара наименьшего радиуса, и событие В, состоящее в извлечении шара наименьшего объема, являются равносильными событиями.
