- .
( ):
3. Коммутаторы токов 147
ч------------------------------------------------------------
чина Gfi в этом пределе известна точно. Например,
если начальное и конечное состояния содержат только
по одному бариону с 1ф0 (в частности, процесс i->f может быть рассеянием А° или жесткого пиона на нуклоне), то Gfi имеет вид
(р', £' и т. д.1 G (cjidi, . qnan) | р, J ит. д.)-*
-*• Gn 2 2 (~ 2р' • qi)~l [- 2р' (<7, + <72)]-1 ...
& г-о
... [-2p'(<7i + ••• + qr)Tl [2р (qr+i + ... + qn)]~l ...
... (2р • qn) 2 L (p » <7i®i» • • •» X
X(p', £" и т. д. | S |p, С'" и т. д.) X
XL(p, (9)
где p —импульс нуклона; £ — индекс спина и изоспина, принимающий 4-значения; „и т. д.“ относится к другим частицам в состояниях г, f (например, к А°-частицам или жестким мезонам); 2 означает суммирование по
<9*
п\ перестановкам индексов мягких пионов; S означает
S-матрицу (без 6-функции) для исходного процесса без испускания мягких пионов, a L является 4 X 4-матрицей вида
l(р> qiau • • •» qnan)vl «
= й (p. СО Y5<K, --2Af М • • • r,2JH* (р- О, (10)
где ы — восьмикомпонентная дираковская и изоспиновая волновая функция.
Остается рассмотреть второй член Cft в соотношении (5). Из предположения о точном сохранении аксиально-векторного тока следует, что дивергенция хронологического произведения в выражении (2) определяется только многократными одновременными коммутаторами Ла с Лр. В первоначальной модели с градиентной связью [1, 5] все эти коммутаторы равны нулю, что дает Cfl = 0 и Mfl = Gft для всех п, как и
148
С. Вайнберг
следовало ожидать. Однако успех расчетов Адлера и Вайсбергера показывает, что модель градиентной связи ошибочна, причем правильные коммутаторы должны иметь вид
б (х° - у°) [А°а (х), АI (у)] = igvb4 (х - у) e^v; (х). (11)
Тем не менее существуют два важных частных случая, когда величина Cfi равна нулю и матричный элемент Mfi для процесса с испусканием мягких пионов определяется выражением Gfif соответствующим теории с градиентной связью.,
1) В случае п = 1 величина Cfl(q, а) совпадает с матричным элементом от дцЛЙ и поэтому равна нулю. Этот вывод о том, что теория с градиентной связью дает правильный результат в случае рождения одного пиона с нулевой энергией, представляется очень удобным способом формулировки результатов Намбу и др. [1], а также условия самосогласованности Адлера [4]. [Более общее утверждение состоит в том, что для любого п последний член в соотношении (7) всегда отсутствует.]
2) Если все п пионов имеют одинаковые заряды, то все коммутаторы (11) равны нулю. Следовательно, если мы верим в правильность соотношения (11), то величину Gqi, полученную из теории с градиентной связью, можно использовать для расчетов матричных элементов рождения любого числа мягких пионов с одинаковыми зарядами. (Наиболее важным приложением этого правила был бы расчет матричных элементов рождения нейтральных пионов.)
Даже в тех случаях, когда величина Cfi не равна нулю, ее можно вычислить точно в пределе q-*0, зная коммутаторы токов. Например, для п = 2 из соотношений (1), (7) и (11) получаем
