- .
( ):
Уравнения (33) позволяют сформулировать простые правила для вычисления (вплоть до членов* линейных по 4-импульсу дополнительного пиона) матричных элементов
<Г‘|/(л±0)1М,пХ
где а и (3 — произвольные системы сильно взаимодействующих частиц, а фотон у в начальном состоянии может быть как реальным, так и виртуальным. Членам 5а,/а(±0> в уравнениях (33) отвечают вставки во внешние
138
С. Адлер
барионные линии диаграмм матричного элемента
— iTt (ay -*■ (3), вклад которых дается выражениями (25), где следует изменить изоспиновые множители, поскольку мы используем теперь поля и токи с определенным . зарядом. Кроме того, мы должны прибавить к (pout | /я±> | (а\У“) выражение
±7ВД¥<Г,ил№,|м'">’ (34)
получающееся из члена в соотношении (33).
Используя стандартные редукционные формулы, мы получаем в низшем порядке
<P°ut | Ах (у) /я(±) (у) | (ау)1п> =
= -r^<P°UtlV"(±,(i/)l«in>. (35)
Кг
где k' есть 4-импульс, а гк — 4-вектор поляризации фотона у- Формулы (33) — (35) позволяют вычислить матричный элемент испускания пиона с нулевой энергией и нулевой массой в реакциях фото- и электророждения. Они эквивалентны результатам, полученным в работе Намбу и Шраунера [4], в которой рассмотрено приложение этих результатов к реакции e + N = e + N + n.
Приложение
Мы рассмотрим здесь в общем виде вопрос о том, как изменяются уравнения типа
5,4 = D (П.1)
в присутствии электромагнитных взаимодействий. Сформулируем результат в виде теоремы').
Теорема. Пусть ф; — неперенормирйванное поле частицы с зарядом в]. Рассмотрим теорию сильных взаимодействий с лагранжианом £[{ф), {даф)]> гДе (Ф) — набору. Пусть /А —ток с определенными зарядовыми трансфор-
') Я признателен проф. С. Коулману за помощь в доказательстве этой теоремы.
2. Условия самосогласованности
139
мационными свойствами (с зарядом ej), полученный с помощью инфинитезимального калибровочного преобразования полей следующим образом [6]:
•ф/ -► •Ф/=mi
= {дЛ% (П.2)
ag' -j
Ja-o Тогда:
1) В отсутствие электромагнитных взаимодействий
ток Jx удовлетворяет уравнению
дкк = D, (П.З)
где JK и D — функции только от и да\|)/:
h = h [(Ф). {<5аф}]. Z) = D [{-ф}, {даф}]. (П.4)
2) Включение электромагнитного взаимодействия с минимальной электромагнитной связью изменяет уравнение (П.З) и (П.4) следующим образом:
[дх - iejAK) [{ij>}, {jtcr}] = D [(Ф}, {я0}], (П.5)
где через я!а обозначена величина (да — iejAa)^>j.
Доказательство. Мы будем рассуждать так, как если бы поля были классическими, игнорируя вопросы о коммутации и антикоммутации. Сперва рассмотрим случай, когда электромагнитное взаимодействие отсутствует. Уравнение движения Лагранжа для поля ^ имеет вид 68 , 68 /гт
а*, - д° 6 (дв+/) • (п-6)
При калибровочном преобразовании
ч»/ ф/ == Ч»/ + л^/ [{ф}] (п.7)
производные д<$} и лагранжиан 8 изменяются следующим образом:
даЪ, -* дЛ] = д<$, + (даА) Fj + A (daF^,
8->8' = 8 Ш {ао^}] =
= £[{^ + ЛП {<501|> + (<50Л)^ + Л(дЛ (П.8)
140
С. Адлер
Из соотношения (П.8) мы находим первые вариационные производные
