- .
( ):
Cfi(<7,a„ <?2а2) “ F <72а2) =
= 4М2 ("gj) ^ еа,а2а<?2ц^/£ “)» 02)
3. Коммутаторы токов
149
где чертой отмечены индексы, относящиеся к векторному, а не к аксиально-векторному току:
(Ps -Pt + Я) 8Умн (q, а) =
® J d4xe~tq'x (f, out | FS (jc) I i, in)- (13)
В пределе q-+0 в матричном элементе M%{q, а) преобладает вклад диаграмм, на которых вершина векторного тока вставлена во внешнюю барионную или ме-зонную линию, так что этот матричный элемент принимает вид1)
где S — S-матрица, TN>a — матрица изотопического спина Та для N-й частицы в начальном или конечном состоянии, a pN — ee импульс. [Заметим, что выражение (12) антисимметрично по qi и q2 в соответствии с требованием статистики Бозе.] Например, если нуклон рассеивается частицей (типа Л° или d) с нулевым изоспином, то матричный элемент для этого процесса с испусканием двух мягких пионов имеет вид
(14)
(р', £' и т. д. |С(<7,а„ q2a2) I р, £ и т. д.)-*
[p(J. + ?2)](Ta)S"'.t6r„r}X
X (р', I" и т. д, [S|p, и т. д.). (15)
’) Это прямой аналог известной формулы для внутреннего тормозного излучения фотона (см. [5], стр. 392).
150
С. Вайнбврг
Обозначения здесь такие же, как и в соотношении (9), которое в случае рождения двух пионов дает матричный элемент G-матрицы в виде
(р', £' и т. д. I G (<7iab <72а2) |р, £ и т. д.)->
-L г2 V V Г1 (р': qiai' q2a2\V'h'",t 4 ” » ^ *■ (P'-Vi)IP- (?1 + ?2)]
Цр'; <?iai)^ гЧр; fa°aV« с L (р; q2a2)r„ с вс,§ г ■
{р' -Я\){р-Я2) [р-(Я\+Я*)]{р-Чг)
х (р', £" и т. д. | 5 |р, и т. д.), (16)
а полный матричный элемент равен сумме выражений (15) и (16). Не представляет труда вычислить Сц ,в случае рождения любого числа мягких пионов. [Однако при п ^ 3 возникает небольшое усложнение. Для га = 3 соотношение (7) сводится к следующему:
Cfi{qia.u <7202, <73а3) =
= -(^)"3<7т1ад311з^1№(‘/!а!’ <?2а2- Ш)~
— (iF) 2 Я2цгЯзц3Мп'13 (cl2a2' *hN> ^iai) + Перестановки.
Первое слагаемое можно вычислить, зная одновременный коммутатор [Fa, Лр], а также коммутатор [Х, Лр]. Второе слагаемое равно
F {^2а2’ Язаз’ Qiai)=
= 4М2 (^") (?2 ?3» ®> Уl®l)’ 0^)
Если <7! и <72 + <7з стремятся к нулю одновременно, то матричный элемент Mfi (я2 + Яз> <*; <7iai) от векторного тока нельзя вычислить непосредственно из соотношения (14). Вместо этого мы должны рассмотреть аналог формулы (4) с одним векторным и одним аксиально-векторным токами, взять дивергенцию по индексам только аксиально-векторного тока и, используя полученное соотношение, выразить слагаемое (17) через величины, известные в пределе низких энергий. Этот прием можно использовать для любого га.]
3. Коммутаторы токов
151
Можно надеяться, что приведенные выше формулы для пионов с нулевой массой применимы к реальным процессам, когда скалярное произведение p-q импульса q любого мягкого пиона на любой другой импульс р удовлетворяет неравенству
s>|p-<7l>m2, (18)
где s—обычный инвариантный квадрат энергии, характеризующий исходный процесс Однако необходимо
подчеркнуть, что даже в этом лределе матричный элемент Mfj для процесса с испусканием мягких пионов не сводится к константе, а содержит сложную зависимость от направлений движения рожденных пионов ’).
