- .
( ):
/
Верхние индексы (+), (—) в этом выражении относятся к положительно- и отрицательно-частотным частям аут-полей соответственно, а суммирование ведется по всем стабильным частицам.
Матрицы 0(,±] определяются I) лоренцевской ковариантностью и четностью (xout — аксиально-векторный заряд), 2) изотопическим спином (%out — увеличивающий изоспин член изотопического триплета) и 3) определением %out как предела lim % (t). Например, условия 1
f -> оо
и 2 требуют, чтобы нуклонный член в %out имел вид
g(+){dHut(+V)Y° v5ct(+)w =
= g(+) J d3^°ut,+,(x)T+Y°Y5<ut,+)W. (A. 10)
Для определения g,+) воспользуемся условием (3), которое означает, что
lim <р (q2) | % (t) | п (?,)> = (р (<7г) I Xout I « М>- (А. 11)
t — оо
Матричный элемент (р (q2) | % (t) | п (?,)) на самом деле не зависит от времени, поскольку пир имеют равные массы. Преобразуя его с помощью соотношения (1.92), представим левую часть равенства (А.II) в виде
/ М2, \,/г
"й Up(q2)gAy0\5Un(ql)(2n)3 63(q2-q,). (А. 12)
ч Я2Я1 /
Низкоэнеfiaerические теоремы для пионов
119
Из выражения же (А. 10) следует, что правая часть равенства (А. 11) равна
/ м2 Y/s
ртт) йР (<7г) gi+)y°y5un (<7i) (2я)3 б3 (q2 - q,). (А. 13)
Таким образом, gl+) — gA и
Xout =gA f d3x%ut (+) (*) T+v0V5^ut <+) (x) +
+ Отрицательно-частотная часть +
+ Члены, соответствующие остальным частицам. (А. 14)
Ясно, что оператор xout. действуя на состояние уходящей частицы, переводит его в состояние той же частицы с тем же импульсом, но с измененными спином и изотопическим спином. Выражение для %in получается из выражения (А. 14) заменой всех индексов out на in.
С помощью соотношения (А. 14) мы можем выразить матричный элемент (0 (q2) | Xout I«(<7i)) через (р (q2) | а (<7,)). Соотношение (А. 14) соответствует сумме „вставок" в линии всех выходящих частиц, имеющихся в состоянии (Р(<72)|. Пусть ф | = (£, ... |, тогда вклад частицы £ равен
КРI Xout I а}]Е = КС, • • • I Xout I а)]£ =
= 2 /-5^(ихои‘1Г)(Г, ...|а). (А. 15)
Спин, иэоспин частицы £'
При этом полный матричный элемент равен
<Р I Xout I а) = 2 [<р I Xout I а)],. (А. 16)
£е|3
Рассмотрим для иллюстрации конечную нуклонную линию. Мы имеем
<Р ЫI«(<7i)> = бр, „ + (2л)4164 (<72 - <7,) Г(а-> р),
(М V/*
MN{qN)m. (А.17)
120
Глава 2
Тогда вклад конечного нуклона N в (РЫ1хоиЧа(<7,)>
равен')
(2л)4 гб4 (<72 - qx) 1 шп (gN) gA t+y°Y5 (А-18)
т. е. действие %out сводится к замене
UN {qN) —*■ {qN) gAr+y\ ^ N^0 N j (A. 19)
в выражении (A. 17). Сравнивая этот результат с соотношением (А.5), мы видим, что вклад конечного нуклона N в <Р||«) равен
(А-20>
Полное выражение для ф|/я-|а) будет суммой членов типа (А.20), соответствующих всем выходящим частицам в состоянии (р | и всем входящим частицам в состоянии | а).
Кратко рассмотрим теперь, почему Намбу и Лурье [16] получили эти же правила вставок в случае пиона нулевой массы. Как видно из равенства (А.2), при М„ = 0 киральность сохраняется:
d%M,
dt
j— = 0. (А.21)
Это значит, что — _0 = О. т- е- в соотноше-
Л Л
иии (А.4) теперь отсутствует член, пропорциональный J" 4sxJn~. Однако в случае пиона нулевой массы асимптотическая киральность xout, кроме билинейных чле-
') Чтобы сравнить выражение (А.18) с результатом ст. 2 (стр. 134), в которой используется метрика Паули, нужно заменить на — icjN. Определение метрики см. в главе „Обозначения".
