- .
( ):
где e(v) = v|v|-1. Мы не выписали члены, нечетные относительно замены q->— q, поскольку они не дают вклада в правило сумм.
Фнг. 4.1. Фейнмановские диаграммы, соответствующие выражению (4.35) в тексте. Вершина (g) соответствует матричному элементу изоспинового тока между состояниями „голых“ нуклонов. Четнаи по q часть /4^v отвечает той части диаграмм, которая антисимметрична по изоспнновым индексам токов.
Учитывая, что /3 (протон) = '/г. получаем следующее правило сумм:
(ро)2 J* A°°dv 1чфИКСироваи — 2. (4.36)
Для изучения предела бесконечного импульса в этом соотношении удобно воспользоваться условием сохранения тока и заменить Л00 на (<7°) <7r?Hrs; полагая Р • q = 0 и подставляя выражение (4.35) для Ars в (4.36), получаем
+ (4.37)
2Г2
Глава 4
ИЛИ
- q2 J v2(PV q2 е (v)6 [2v + v2 (P°)~2 - q2] dv = 2, (4.38)
где при выводе соотношения (4.37) мы использовали тот факт, что два члена, дающие вклад в qTqsArs, отличаются только заменой v -> — v. При переходе от (4.37) к (4.38) мы воспользовались равенством q2 = v2 (Р0)-2 — q2, справедливым при Р • q = 0. Легко проверить, что правило сумм (4.38) выполняется для любого конечного
Фиг. 4.2. Диаграммы с обычным (а) и парным (б) промежуточными состояниями, дающие вклад в правило сумм для свободных ■(уклонов. Разрывы в линиях обозначают промежуточные состояния в правиле сумм.
значения |Р| и остается справедливым, если перейти к пределу |Р|—>-оо под знаком интеграла. Мы хотим исследовать поведение подынтегрального выражения при | Р | —► оо. Нетрудно обнаружить, что аргумент
6-функции в (4.38) имеет два иуля; один при
v = - (Я0)2 {[l + q2 (Р°)"Т2 + 1} « - 2 (Р0)2. (4.40)
На языке промежуточных состояний нуль вблизи V2q2 возникает за счет обычного однонуклонного состояния (фиг. 4.2, а), а нуль вблизи — 2(Р°)2 —за счет парных состояний (фиг. 4.2, б). Существуют, разумеется, только
а
б
v = (Р0)2 {[1 + q2 (Р°Г2]'/г - 1} « j q2, (4.39)
а другой при
Правила сумм
263
два состояния, которые могут давать вклад в коммутатор в теории свободных полей. Так как парное состояние проявляется при значениях v, которые стремятся к — оо при | Р I-»- оо, то ясно, что предел | Р |-> °о явно не равномерен. Очевидно, что процесс перехода к | Р — оо в подынтегральном выражении (4.38) допустим лишь в том случае, если вклад парного состояния в интеграл стремится к нулю, когда это состояние смещается к v=—оо. Легко проверить, что вклад парного состояния действительно затухает в этом пределе. При больших | Р | правило сумм имеет вид
q2 С v2 (P°)~2-q2 J 1 ,
2~ J ------Р-------6(v-yq2)rfv +
(однонуклонное
состояние)
+ ~Т J ~ (%2 ~~ 6 [v + 2 (РУ] -- 2 (4.41)
(парное состояние)
ИЛИ
- 2q2 {q-4 [q4 (2Р°)“2 - Ч2] - (2Я°)“4 [(2Р0)2 - Ч2]} = 2. (4.42)
(однонуклонное состояние) (парное состояние)
Теперь ясно, что при |Р|->оо вклад парного состояния стремится к нулю как ] Р |-2, в то время как вклад одноиуклонного состояния не исчезает и дает то самое правило сумм, которое мы получаем, переходя к пределу | Р | —► оо под знаком интеграла.
