- .
( ):
о частичном сохранении представляет собой более тонкое утверждение. Оно гласит, что для малых q2 величина qxqaAla хорошо аппроксимируется функцией с пионным полюсом (второго порядка) при q2 = М2. Разлагая qxqaAlc, получаем
v2S, + q4B2 + q2vB3 + q2B4 - > (4-34)
где Im jT^v)- абсорбтивная часть амплитуды рассеяния jt + P->-jt + P вперед, а с —константа. Положив <72 = 0, мы обнаружим, что v2Bi (v, 0) с2Мп4 Im r^(v), даже
‘) Правила сумм, использующие гипотезу о частичном сохранении аксиально-векторного тока, справедливы только для пионов с нулевой массой и не являются „точными", если в них подставить только величины на массовой поверхности.
17*
260
Глава 4
если функция В, не имеет полюса при q2~M2n. Следовательно, подынтегральное выражение в правилах сумм с фиксированным q2, которые следуют из коммутатора двух аксиально-векторных токов, не имеют полюса при q2 = М2. Однако в специальном случае q2 = 0 можно использовать гипотезу о частичном сохранении аксиальновекторного тока, чтобы связать подынтегральную функцию с амплитудой рассеяния пионов.
Из предыдущих рассуждений следует очевидный, но тем не менее важный вывод: правила сумм, содержащие интегралы от амплитуд рассеяния пионов и получающиеся при использовании соотношения (4.9) и гипотезы о частичном сохранении, не являются сверхсходящимися правилами сумм для лр-рассеяния').
§ 5. Физические свойства в пределе бесконечного импульса
До сих пор мы не пытались обосновать предельный переход |Р|->-оо, использованный при выводе правил сумм с фиксированным q2. В этом параграфе мы изучим некоторые физические свойства предела |Р|->оо. При этом оказывается, что, хотя этот предел крайне неравномерный, правила сумм, выведенные в § 2, по-видимому, верны. Начнем с изучения правил сумм в теории свободных полей; основываясь на результатах, полученных в этом простом случае, можно будет сделать некоторые правдоподобные догадки относительно реального мира.
Рассмотрим мир, содержащий только невзаимодействующие нуклоны, описываемые оператором поля N с восемью компонентами (по 2 изоспиновые компоненты на каждую из 4 спиновых). В таком мире изоспиновые токи N (х) yKlk^iN {х) = (я) удовлетворяют локальным
коммутационным соотношениям Гелл-Манна, и мы можем изучить свойства предела |Р|->°о, приводящего к правилу сумм (4.19). В дальнейшем нам понадобится величина определенная равенством (4.13), где в ка-
‘) При учете спиновых эффектов положение усложняется (см. гл. 5).
Правила сумм
261
честве | f$ (Р)} взято протонное состояние. Эту величину можно получить, либо непосредственно суммируя по промежуточным состояниям в равенстве (4.13), либо более элегантно, заметив, что Л*1'’ есть абсорбтивная часть фейнмановских диаграмм на фиг. 4.1. Приведем окончательный результат
А"- (2 Р»Р' + 1 ,V") е (v) [6 (2v + ,!)-S (2v - ,*)] +
+ q'1 + Pvq'x) e (v) [б (2v -1- q2) + 6 (2v — q2)\ +
+ Члены, нечетные относительно замены q—►— q, (4.35)
