- .
( ):
■ 00
\dq°A°°(P,q) =4Р°/3(р) (4.14)
* q фиксирован
ИЛИ
(Р°Г2 f dvA00 (Р, q) I = 4/3 (Р), (4.15)
J *q фиксирован
где вектор q фиксирован при том же значении, что и в коммутаторе (4.10).
250
Глава 4
Так как величина Л*1'’ является (симметричной) тензорной функцией Р и q, она должна иметь вид
А”- Р>Р'В, + {(Р<у + ру)В, + е"'В„ (4.16)
где В — скалярные функции v и q2. С помощью функций В равенство (4.15) можно переписать в виде
J ^2-f- (^0*) s3 + тДр-J = 4/3(Р),
u ' ' s/ ^ ' J q фиксирован
(4.17)
где условие ,,q фиксирован" требует, чтобы
<7° = (v + Р • q) (Р°)_1 и <f = (v + P • q)2(P°r2-q2.
Удобно выбрать Р так, чтобы Р ■ q = 0; в этом случае мы будем иметь
J dv[£,(v, q2) + jpoyB2{v, q2) + j^y B3(v, q2) +
1 Д4 (v 9g)
(/>0)2
= 4/з (P). (4.18)
0!=-q4(V/W
Зависимость от P в правиле сумм теперь явная, и переход к пределу |Р|-*оо (при условии P-q = 0) дает
J dvBx (v, q2 = - q2) = 4/3 (p). (4.19)
Напомним, что величина вектора q здесь та же, что и в (4.10).
Перестановка операций перехода к пределу и интегрирования при выводе правила сумм (4.19) имеет те же основания, что и аналогичная перестановка при выводе соотношения (4.9). Если предположить, что трудностей при этом не возникает, то мы получим замечательный результат: интеграл от Вх должен быть постоянной величиной, не зависящей от параметра q2. Нетрудно понять, почему правило сумм (4.19) представляет собой более сильный результат, чем правило сумм (4.9), справедливое только для q2 = 0: правило сумм (4.19) предполагает выполнение локальных коммутационных соотношений между 5°, в то время как для вывода соот->
Правила сумм
251
ношения (4.9) достаточно одной справедливости проинтегрированных коммутационных соотношений. Очевидно, что соотношение (4.19) можно использовать для проверки локальных коммутационных соотношений; этот вопрос мы рассмотрим в § 3.
В приложениях важно иметь представление о том, насколько быстро сходятся правила сумм. К сожалению, мы не можем сформулировать строгих утверждений о поведении А или В при больших v и фиксированных q2. Мы можем, однако, высказать правдоподобную догадку. Если представить на минуту, что операторы д*д$5Я и g* являются источниками частиц, то величины А и А*'1 будут абсорбтивными частями амплитуд рассеяния вперед этих частиц на мишени р, в чем легко убедиться из определений1) (4.5) и (4.13). .
В соответствии с моделью полюсов Редже2) абсорб-тивная часть амплитуды процесса с сильным взаимодействием асимптотически ведет себя как va<0), где a (0) — значение главной траектории Редже с соответствующими квантовыми числами в точке нулевой энергии. Обобщая это поведение на функции А и Ви мы можем предположить, что /4~va(0), а B,~va<0)-2. (Дополнительный множитель v~2 в В, появляется за счет того, что и Ву отличаются на 2 по степени энергии.) Соответствующей траекторией Редже является
’) Если jB — источник частиц В, то абсорбтивная часть амплитуды рассеяния (вперед) для реакции В (q) + р (Р) -> В (q) + р (Р) пропорциональна
p(p))rf4*
(см., например, книгу Бьёркена и Дрелла [2] в главе „Обозначения"). Разлагая произведение операторов по полному набору состояний и интегрируя по пространству, получаем выражение, аналогичное А или
