- .
( ):
Описанное выше явление присуще всем теориям свободных полей. Мы предоставляем читателю проверить, например, что теория свободных пионов обладает в сущности теми же свойствами.
В этой главе мы ограничились коммутаторами двух временных компонент токов. И это не случайно. Посмотрим, что произойдет, если перейти к пределу |Р|—>оо в коммутаторе пространственной и временной компонент. Для этого нужно исследовать предел интеграла J Л0гс?<701чфйкснрован при |Р |-^оо. Возникает вопрос, может ли парное состояние давать вклад в этот интеграл при |Р |->оо или нет. Чтобы ответить на него, напишем
J А°Г d(l0 Iq фиксирован “It- lq Фиксирован (4-46)
и воспользуемся гипотезой о „частичном сохранении", которая утверждает, что функция qxAXr ведет себя не хуже, чем АКа. При этом мы получим, что
*) Из-за присутствия б-функций только этот предел и имеет значение.
266
Глава 4
множитель, обеспечивающий сходимость, равеи v_I, что эквивалентно множителю (Р°)~2 для парного состояния, который убывает медленнее множителя (Р0)-4, рассмотренного раньше. Следовательно, в коммутаторе временной и пространственной компонент происходит подавление вклада парного состояния при |Р|—>-оо, но, возможно, это подавление не настолько сильное, чтобы можно было перейти к пределу J Р | —оо под знаком интеграла. Этот коммутатор можно исследовать в различных теориях свободных полей; при этом оказывается, что иногда вклад парного состояния достаточно быстро стремится к нулю, а иногда нет. Допустимость перехода к пределу |Р|—>-оо под знаком интеграла в этих коммутаторах существенно зависит от модели. Для коммутатора двух пространственных компонент положение еще хуже. В этом случае мы имеем дело с величиной
J Ars dq° |q фнксирован и, очевидно, не можем обратиться
к гипотезе о „частичном сохранении1*, чтобы получить энергетический множитель, который подавил бы вклад парного состояния. В результате предельный переход
-1 Р | —> оо для этих коммутаторов справедлив только в исключительных случаях, ни один из которых не представляет интереса с физической точки зрения. Читатель может спросить, почему нельзя, записав равенство (при q2 = 0)
принять гипотезу о том, что ротор тока e**vA,ada?j>, является „несингулярным" оператором. Разумеется, такое предположение можно сделать, но среди известных моделей нет ни одной, в которой ротор хотя бы одного из токов, удовлетворяющих алгебре Гелл-Маниа, был бы „несингулярным" оператором.
Другие интересующие нас коммутаторы — это коммутатор временной компоненты с дивергенцией тока и коммутатор двух дивергенций. Коммутатор, содержащий одну дивергенцию, при |Р|->оо ведет себя аналогично коммутатору временной и пространственной компонент, в то время как коммутатор двух дивергенций сингуля-
Правила сумм
267
рен в такой же степени, как и коммутатор двух пространственных компонент. Поведение множителя, определяющего степень затухания вклада парного состояния для различных случаев, представлено в табл. 1.
