- .
( ):
страистве видно, что если коммутатор ,-г (х) и
(рг} 4о^(^Я2)\ = -ir я (v, 0) = 4/3(Р). (4.53)
аЧ gOs.o av v*»0
часть R{ \ а А( ’ — соответствующая абсорбтивная часть.
(4.54)
Правила сумм
271
Очевидно, что мы заменили предположение о возможности перехода к пределу |Р|-*оо под знаком интеграла предположением о том, что /?<-)(v, 0)/v-*0 для больших v. Покажем, что эти два предположения полностью эквивалентны друг другу. Возвращаясь к равенству (4.51), положим q = 0; тогда v = P°q°, ф = (v/P0)2, и мы получаем
q-0
= <?°f Ч'\ dq'° =v f-—Л—• dv'. (4.55)
J <?(q^-q0) J v'(v'- v) v ’
Теперь ясно, что для любых конечных Р° величина P<->(v, (v/P°)2)/v удовлетворяет дисперсионному соотношению по v без вычитаний, а #(-) (v, 0)/v будет удовлетворять дисперсионному соотношению без вычитаний в том и только том случае, когда допустим переход к пределу f Р f —► оо под знаком интеграла в правой части (4.55).
В действительности, одиако, то обстоятельство, что возможность предельного перехода |Р|-»-оо эквивалентна отсутствию вычитаний в дисперсионном соотношении, не улучшает положения. Строго доказать отсутствие вычитаний не легче, чем доказать справедливость метода предельного перехода |Р|-»-оо. Тем не менее замечательно, что изучение предела бесконечного импульса | Р | отвечает на вопрос, почему в некоторых дисперсионных соотношениях нужны вычитания, даже если интеграл от абсорбтивной части сходится при отсутствии вычитаний: это происходит тогда, когда вклад парных состояний недостаточно подавлен при
| V 1= ОО.
Исключительно изящной формулировкой результата теории дисперсионных соотношений является утверждение о том, что алгебра токов позволяет вывести низкоэнергетическую теорему для R (v, 0), т. е. определяет значение (d/dv)R{v, 0) при v = Q. Низкоэнергетическая
272
Глава 4
теорема плюс предположение о дисперсионных соотношениях без вычитаний и дают нам правило сумм').
Когда правила сумм с фиксированным q2 были впервые получены, казалось совершенно таинственным, почему метод предельного перехода |Р|-»-оо и дисперсионный метод всегда дают одни и те же результаты. Однако на приведенном выше примере мы выяснили, что эти два метода действительно отличаются только внешне. Для читателя не представит большого труда убедиться, что это справедливо и в общем случае; для того чтобы при выводе любого правила сумм перейти от метода предельного перехода | Р | —► сэо к дисперсионному методу, нужно лишь: 1) путем несложных преобразований выразить сумму по состояниям [как в (4.6)] через запаздывающий коммутатор [как это сделано в (4.52)]; 2) заметить, что переход к пределу |Р|->оо под знаком интеграла, определяющего запаздывающий коммутатор, ведет к дисперсионному соотношению без вычитаний; 3) забыть о пределе | Р | —► оо и сформулировать постулат об отсутствии вычитаний. Обратный процесс превратит любой дисперсионный вывод в вывод с использованием предела бесконечного импульса.
