- .
( ):
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Здесь мы рассмотрим в рамках теории поля формальное доказательство того, что в амплитуде испускания двух фотонов М1а дивергенция „катастрофического" члена сокращается со швингеровским членом. Пусть сначала в плотностях лагранжиана и гамильтониана отсутствует электромагнитное поле:
2 = 2 [{Ф}, {дхФ}1, Ж = - 2 + 2 д0Ф,П,. (Б. 1)
Чтобы ввести минимальное электромагнитное взаимодействие, сделаем подстановку
(3^фу -> — iejA}) Фу (Б,2)
15*
228
Глава 3
и вычислим ток с помощью соотношения
(Б.З)
Определим PjiX равенством. Р1Л = (дх — ie/Ax) Ф/, тогда ток можно переписать в виде
(Б.4)
! 1
Поскольку канонический импульс Пу по определению равен
п 68 68 /Е
П/ 6 (д0Ф)) бЯу.о’ ^Б-5^
то временная компонента тока имеет вид
Jem ~ 2 (Б.6)
откуда следует, что гамильтониан можно записать в виде 9S = - 2 + 2 (д0 - ie,A0) Ф/Пу + А02 1е.Ф1П1 = g + А0РВМ,
8=-£+2р,,0П,. (Б. 7)
I
Ясно, что flg/dP/to= — П/ + П; = 0, поэтому 3 не зависит от Ру.о, т. е.
ъ=ътлр.1-з},{Щ\- (б.8)
%
Ток (Б.З) можно выразить через гамильтониан: Jem — = Яб/А^, в частности, пространственные компоненты равны
<Б-9>
1 .
Смысл перехода к гамильтонову формализму состоит в том, что равенства (Б. 6), (Б.8) и (Б.9) выражают ток только через канонические переменные, коммутационные соотношения между которыми известны.
Низкоэнергетические теоремы для токов 229
Теперь остается лишь вычислить нужные коммутаторы. Прежде всего ясно, что
[Л$(*), Jem (у)] \х^уь = [А>(*), /ям (г/)] !Л»=г/о =
= [Ло(Д /ям(г/)и^ = 0. (Б. 10)
Коммутатор As и Jem равен
[АМ. Им У L,--S щъ1р,, ‘*1ф1 X
lit
X [А, (х), - ietAt (у) Ф, (г/)] |х,=г/0 = - /б (х - у) SJ,
(В-Ч)
п
Коммутатор J°em и Jem при х° = у0 равен')
[J°em М, Jem (У)] =
= J ie/Uj (х) Ф, (*), - J] ге,Фг (г/)| =
= 2{П, (*) [Ф, (*), Пт (у)] ф,(у) +
/to
+ ф/ W [Н/ W. фт (у)] Ф/ +
+
ф/ w 2 -щ®6р [П/ w>*(у)] Фг (у)}+
+ 2 еуе,Ф/ (д:) [Пу (*), Фг (г/)] =
= 2 * 1Р- [б (х - у) S” (г/)] - /б (х - у) Rr (у). (Б. 12)
ч>) Выражение (Б. 12) соответствует случаю, когда все поля Ф/ бозоиные. В случае фермионных полей все канонические коммутаторы заменяются на канонические антикоммутаторы.
230 Глава 3
Коэффициент при 6-функции Rr{y) выглядит очень сложно и может быть записан в виде
Рг ^ | V [{еикФ}, [е**Р, „J, {е~1еКП}] „
dl \ ^ Ри т
U> (Б-13)
где {е1е1Ф) = {е1е'%Фх, ешХФ2, ...}. Таким образом, вследствие зарядовой нейтральности лагранжиана коэффициент Rr(y) тождественно равен нулю. Если выражения (Б. 10) — (Б. 12) подставить в равенство (3.18) , то
J (fx eik'x {i'6 (х°) (P | [Jem Jem (0)] I a) +
+ в(*°)МР1 [Ax(x), Jem (0)] | a)} =
= J d*x eik'* J] {~ б И 6x <p | S" (0) | a) -
S
- б (*°) ksib (x) <p | Srs (0)1 a)} = 0, (Б. 14)
откуда следует, что дивергенция „катастрофического" члена и швингеровский член действительно сокращаются друг с другом.
Литература
1. Adler S. L., Dothan Y., Phys. Rev., 151, 1267 (1966)
2. Low F E., Phys. Rev., 96, 1428 (1954).
Gell-Mann М., Goldberger M. L., Phys. Rev., 96, 1433 (1954).
3. B6g M. A. B„ Phys. Rev., 150, 1276 (1966).
4. Okub.o S., Nuovo Cimento, 44A, 1015 (1966).
5*. Г e p а с и м о в С. Б., Ядерная физика, 2, 598 (1965).
6. Bel 1 J. S., Nuovo Cimento, 50A, 129 (1967).
Bo-ulware D. G., Brown L. S., Phys. Rev., 156, 1724 (1967). Brown S. G., Phys. Rev., 158, 1444 (1967).
7. Brown L. S., Phys. Rev., 150, 1338 (1966).
8. Low F. E„ Phys. Rev., 110, 974 (1958).
